Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.

Число (,[ , ]) называется смешанным произведением векторов , и .

Смешанное произведение векторов , и обозначается (, , ).

Теорема 5. Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая.

Действительно, , где φ - угол между векторами и , а θ - угол между векторами и . Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , равен (рис. 13) произведению площади основания на высоту . Таким образом, первое утверждение доказано. Знак смешанного произведения совпадает со знаком cosθ, и поэтому смешанное произведение положительно когда направлен в ту же сторону от плоскости векторов и , что и вектор , т. е. когда тройка , , правая. Аналогично доказывается, что смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно.

Теорема 6. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Равенство возможно в следующих случаях:

a.хотя бы один вектор нулевой; тогда все три вектоpaкомпланарны;

b.sinφ = 0 тогда и коллинеарны, и следовательно , и компланарны;

c.cosθ = 0 тогда вектор ортогонален , т. е. компланарен и .

Обратное утверждение доказывается аналогично.

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1. (, , ) = (, , ) = (, , ) = - (, , ) = - (, , ) = - (, , );

2. (, , ) = (, , ) + (, , );

3. ( , , ) = (, , ).

Пусть в некотором базисе векторы = , = , = , тогда

(, , ) =

В частности, в ортонормированном базисе

(, , ) =

(если базис левый, то перед одной из частей равенства следует поставить знак минус).

Следствие. Условие является необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, заданных своими координатами в некотором базисе.

Условие коллинеарности двух векторов. Условие компланарности трех векторов.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Равенство возможно в следующих случаях:

хотя бы один вектор нулевой; тогда все три вектоpaкомпланарны;

sinφ = 0 тогда и коллинеарны, и следовательно , и компланарны;

cosθ = 0 тогда вектор ортогонален , т. е. компланарен и .

Обратное утверждение доказывается аналогично.

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

(, , ) = (, , ) = (, , ) = - (, , ) = - (, , ) = - (, , );

(, , ) = (, , ) + (, , );

( , , ) = (, , ).

Пусть в некотором базисе векторы = , = , = , тогда

(, , ) =

В частности, в ортонормированном базисе

(, , ) =

(если базис левый, то перед одной из частей равенства следует поставить знак минус).

Следствие. Условие является необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, заданных своими координатами в некотором базисе.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: