Алгебраические свойства скалярного произведения

Для любых векторов {a},{b},{c} и любого действительного числа

1. {a}, {b}= {b},{a}

2. {a}+ {b},{c} = {a}{c}+ {b}{c}

3. {a},{b}= a},{b}

4. {a},{b}\0, причем из равенства {a},{b}\=0 следует, что {a}={o}.

Первое свойство определяет симметричность скалярного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю, четвертое свойство — неотрицательность скалярного квадрата. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство соответствует закону коммутативности умножения чисел, второе — закону дистрибутивности умножения по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является число (скаляр), то такое произведение векторов называется скалярным.

Свойства 1 и 4 следуют непосредственно из определения. Докажем, например, аддитивность скалярного произведения по первому множителю (свойство 2): {a}+{b},{c}={a},{c}\+\{b},{c}\. Если вектор {c} — нулевой, то все скалярные произведения равны нулю по определению, т.е. для {c}={o} имеем верное равенство. Пусть {c}\{o}. Учитывая, что проекция суммы векторов равна сумме проекций (то же относится и к алгебраическим значениям длин ортогональных проекций), можно записать_{{c}}{a}+\{b})={c}}{a}+c}{b}.

Скалярное произведение в координатах.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: