Оператор, переводящий любой вектор линейного пространства R в нулевой вектор пространства , является линейным оператором. Та-кой оператор называется нулевым.

Оператор, который каждому вектору пространства R ставит в соответствие сам вектор, является линейным и называется единичным

Растяжение (сжатие) векторов пространства R в одно и то же число k раз является также линейным оператором. Такой оператор называется оператором подобия, т.е..

4. Оператор, который каждый вектор поворачивает вокруг некоторой точки 0 в одну и ту же сторону на угол α, является линейным и называется оператором вращения.

^ Если из пространства Х в пространство Y действует некоторый линейный оператор, то множество образов всех векторов из Х называют областью значений.

Область значений оператора является подпространством в Y. Размер-ность этого подпространства называется рангом оператора

Поэтому линейно независимые собственные векторы, отвечающие одному и тому же характеристическому числу образуют базис некоторого «собственного» подпространства, каждый вектор которого есть собственный вектор при том же. В частности, каждый собственный вектор порождает одномерное собственное подпространство, «собственное направление».

Однако, если собственные векторы операторсоответствуют различным характеристическим числам, то линейная комбинация этих собственных векторов, вообще говоря, не будет собственным вектором оператора.

Значение собственных векторов и характеристических чисел при исследовании линейных операторов будет проиллюстрировано в следующем параграфе на примере операторов простой структуры.

Вопрос 12

вклидово пространство (в математике), пространство, свойства которого описываются аксиомамиевклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. называется n -мepное векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные координаты (декартовы) так, что метрика его будет определена следующим образом: если точка М имеет координаты (х ₁, х ₂,..., x_n), а точка М * — координаты (x ₁*, x ₂*,..., x_n *), то расстояние между этими точками

Определение вещественного евклидова пространства. Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования.

I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у).

П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

1°. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство или симметрия);

2°. (x1 + x2, у) = (х1,у) + (х2, у) (распределительное свойство);

3°. (λх, у) = λ(х, у) для любого вещественного λ;

4°. (х, х) > 0, если х — ненулевой элемент; (х, х) = 0, если х — нулевой элемент.

Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: