Будем говорить, что на множестве векторов R задано преобразование А, если каждому вектору хR по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор АхR.

Преобразование А называется линейным, если для любых векторов х и у и для любого действительного числа λ выполняются равенства А(х + у)=Ах + Ау, А(λх) = λ Ах.

Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор х в самого себя.

Тождественное преобразование обозначается Е: Ех = х.

Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е1, е2, е3, в котором задано линейное преобразование А. Применив его к базисным векторам, мы получим векторы Ае1, Ае2, Ае3, принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

Ае1 = а11 е1 + а21 е2 +а31 е3,

Ае2 = а12 е1 + а22 е2 + а32 е3,

Ае3 = а13е1 + а23 е2 + а33 е3.

Понятие линейного оператора

В линейной алгебре термины отображение (преобразование) и опера-тор равнозначные.

Следовательно, линейный оператор – это линейное отображение ли-нейного пространства в себя.

Условия а) и б) линейности отображения делают удобной форму за-писи линейного оператора в виде как своеобразное «умножение ли-нейного оператора на вектор».

При такой записи условие а) можно интерпретировать как свойство дистрибутивности такого «умножения», а условие б) – как свойство ассо-циативности:

Нарушение любого из этих условий означает, что отображение (опе-ратор) не является линейным.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: