Теорема 3.1 (без доказательства). Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если).

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.

Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают.

Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка:

Тот же результат получим и для произведения ЕА. Итак, для любой квадратной матрицы А АЕ = ЕА =А.

Обратная матрица.

Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если, и невырожденной, если.

Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается.

Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Доказательство.

1) Необходимость: так как то (теорема 3.1), поэтому

2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде:

.

Тогда любой элемент произведения (или), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом,

*=. Теорема доказана.

Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Пример.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: