Справедливо следующее утверждение.

Система [Graphics:35.gif] векторов линейного пространства [Graphics:36.gif] линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства [Graphics:37.gif] следует равенство нулю всех коэффициентов [Graphics:38.gif].

Если в линейном пространстве [Graphics:39.gif] существует линейно независимая система из [Graphics:40.gif] векторов, а любая система из [Graphics:41.gif]-го вектора линейно зависима, то число [Graphics:42.gif] называется размерностью пространства [Graphics:43.gif] и обозначается [Graphics:44.gif]. В этом случае пространство [Graphics:45.gif] называют [Graphics:46.gif]-мерным линейным пространством или [Graphics:47.gif]-мерным векторным пространством.

Любая упорядоченная линейно независимая система [Graphics:48.gif] векторов [Graphics:49.gif] линейного пространства [Graphics:50.gif] образует базис пространства и любой вектор [Graphics:51.gif] единственным образом выражается через векторы базиса: [Graphics:52.gif].

Числа [Graphics:53.gif] называют координатами вектора [Graphics:54.gif] в базисе [Graphics:55.gif] и обозначают [Graphics:56.gif]. При этом для любых двух произвольных векторов [Graphics:57.gif]-мерного линейного пространства [Graphics:58.gif], [Graphics:59.gif] и произвольного числа [Graphics:60.gif] справедливо: [Graphics:61.gif] и [Graphics:62.gif].

Это означает, что все [Graphics:63.gif]-мерные линейные пространства “устроены” одинаково -- как пространство [Graphics:64.gif] векторов-столбцов из [Graphics:65.gif] действительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству [Graphics:66.gif].

Вопрос 11

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ -отображение векторного пространства в себя, при к-ром образом суммы двух векторов является сумма их образов, а образом произведения вектора на число - произведение образа вектора на это число. Если V - векторное пространство, f - заданное в нем Л. п. и ж, у - любые векторы пространства, - любое число (элемент поля),

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: