Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов гильбертова пространства такая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

Называемого рядом Фурье элемента по системе.

Часто базис выбирается так, что, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа, называются коэффициентами Фурье элемента по ортонормированному базису, имеют вид

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел такая, что, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом ряд — сходится по норме к некоторому элементу. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству (теорема Рисса — Фишера).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: