Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов 2 страница

1. антикоммутативность ;

2. свойство дистрибутивности или ;

3. сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число.

Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению и . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому, , что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

31. Теорема о необходимом и достаточном условии коллинеарности 2 векторов.

для коллинеарности двух векторов a и b необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами или .

Перейдем к координатной форме полученного условия коллинеарности двух векторов.

Пусть вектор a задан в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости и имеет координаты , тогда вектор имеет координаты (при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах). Аналогично, если вектор a задан в прямоугольной системе координат трехмерного пространства как , то вектор имеет координаты .

Следовательно, для коллинеарности двух ненулевых векторов и на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: или .

Для коллинеарности двух ненулевых векторов и в пространстве необходимо и достаточно, чтобы или .

Получим еще одно условие коллинеарности двух векторов, основанное на понятии векторного произведения векторов и .

Если ненулевые векторы и коллинеарны, то по определению векторного произведения , что равносильно равенству . А последнее равенство возможно лишь тогда, когда векторы и связаны соотношениями или , где - произвольное действительное число (это следует из теоремы о ранге матрицы), что указывает на коллинеарность векторов a и b. Таким образом, два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

32. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

В основном встречаются три типа задач.

В задачах первого типа заданы длины двух векторов и угол между ними, а требуется найти длину векторного произведения. В этом случае используется формула .

Задачи второго типа связаны с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина или что-либо еще ищется через координаты заданных векторов и .

Здесь возможна масса различных вариантов. К примеру, могут быть заданы не координаты векторов и , а их разложения по координатным векторам вида и , или векторы a и b могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

33. Физический смысл векторного произведения

Моментом силы , приложенной к точке B, относительно точки А называется векторное произведение .

34. Смешанное произведение векторов.

35. Основные понятия

Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

36. Геометрический смысл

Выясним геометрический смысл смешанного произведения векторов и .

Отложим векторы и от одной точки и построим параллелепипед на этих векторах как на сторонах.

Обозначим . В этом случае смешанное произведение можно записать как , где - числовая проекция вектора на направление вектора .

Абсолютная величина числовой проекции равна высоте параллелепипеда, построенного на векторах и , так как вектор перпендикулярен и вектору и вектору по определению векторного произведения. А в разделе геометрический смысл векторного произведения мы выяснили, что величина представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Таким образом, модуль смешанного произведения - это произведение площади основания на высоту параллелепипеда, построенного на векторах и .

Следовательно, абсолютная величина смешанного произведения векторов представляет собой объем параллелепипеда: . В этом заключается геометрический смысл смешанного произведения векторов.

Объем тетраэдра, построенного на векторах и , равен одной шестой объема соответствующего параллелепипеда, таким образом, .

37. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Пусть известны координаты векторов: , , . Векторное произведение векторов и – это вектор с координатами

.

Скалярное произведение вектора на вектор :

Таким образом,

. (2.11)

Нетрудно показать, что .

Отложим данные некомпланарные векторы , , от общего начала и построим на них как на ребрах параллелепипед (рис. 18).

Рис. 18

По определению скалярного произведения , где – угол между векторами и . Но – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а , где – высота параллелепипеда. Таким образом, .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: .

Объем тетраэдра, построенного на векторах , , (рис. 19) равен .

Рис. 19

Заметим, что если векторы , , образуют правую тройку, то и , а если левую, то и .

38. Свойства смешанного произведения

Из свойств векторного произведения и свойств скалярного произведения следуют следующие свойства смешанного произведения:

1.
;

2.
;

3.

Очевидно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение также равно нулю, если хотя бы два умножаемых вектора равны.

Действительно, если , то по определению векторного произведения , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как . Если же или , то угол между векторами и равен , следовательно, по определению скалярного произведения векторов .

Свойства смешанного произведения обычно применяются при доказательстве тождеств или неравенств.

39. Теорема о необходимом и достаточном условии компланарности двух векторов.

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , , компланарны. Можно считать, что они лежат в одной плоскости. Тогда вектор перпендикулярен этой плоскости, следовательно, ,

а значит, их скалярное произведение равно нулю, то есть .

Достаточность. Пусть . Предположим, что векторы некомпланарны. Но тогда существует параллелепипед, построенный на этих векторах, объем которого , а это противоречит условию . Следовательно, предположение неверно, и векторы компланарны.

40. Аналитическая геометрия

41. Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба (рис. 39).

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим  = ОМ – расстояние точки М от полюса, – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Числа  и называются полярными координатами точки М,  – полярный радиус,  – полярный угол точки М. По определению   0. Задание пары чисел (, ) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение  пределами 0    2 (или -    ), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел (, ). Исключение составляет полюс, для которого  = 0, а угол  не определен.

Рис. 39

42. Связь между полярными и декартовыми координатами

Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси Ор (рис.40). Тогда полярные координаты (, ) и декартовы координаты (х, у) точки М связаны соотношениями:

	(2.25)
	(2.26)

Из этих формул следует:

(2.27)

Рис. 40

Формула для tg определяет два угла  и  +  в промежутке [0; 2). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (2.27).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо х, у подставить в уравнение их выражения из формул (2.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (2.26), (2.27).

43. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку.

Пусть М_о(х_о, у_о, z_о) – заданная точка в плоскости , = (А; В; С) – вектор, перпендикулярный плоскости , его называют нормальным вектором плоскости, и пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости (рис. 43). Тогда то есть

(2.28)

(2.28) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

44. Общее уравнение плоскости. Доказательство теорем.

Всякое уравнение вида , где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением вида при некотором наборе чисел A, B, C и D.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!

Как видите, теорема состоит из двух частей. В первой части нам дано уравнение и нужно доказать, что оно определяет плоскость. Во второй части, нам дана некоторая плоскость и требуется доказать, что ее можно определить уравнением при некотором выборе чисел А, В, С и D.

Начнем с доказательства первой части теоремы.

Так как числа А, В и С одновременно не равны нулю, то существует точка , координаты которой удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство . Отнимем левую и правую части полученного равенства соответственно от левой и правой частей уравнения , при этом получим уравнение вида эквивалентное исходному уравнению . Теперь, если мы докажем, что уравнение определяет плоскость, то этим будет доказано, что эквивалентное ему уравнение также определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Равенство представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и . Иными словами, координаты плавающей точки удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы и . Тогда, учитывая факт, приведенный перед теоремой, мы можем утверждать, что если справедливо равенство , то множество точек определяет плоскость, нормальным вектором которой является , причем эта плоскость проходит через точку . Другими словами, уравнение определяет в прямоугольной системе координатOxyz в трехмерном пространстве указанную выше плоскость. Следовательно, эквивалентное уравнение определяет эту же плоскость. Первая часть теоремы доказана.

Приступим к доказательству второй части.

Пусть нам дана плоскость, проходящая через точку , нормальным вектором которой является . Докажем, что в прямоугольной системе координат Oxyz ее задает уравнение вида .

Для этого, возьмем произвольную точку этой плоскости. Пусть этой точкой будет . Тогда векторы и будут перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю: . Приняв , уравнение примет вид . Это уравнение и задает нашу плоскость. Итак, теорема полностью доказана.

45. Частный случай общего уравнения плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат; Найти сумму ряда.

8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

11) z = 0 - плоскость Oxy;

12) y = 0 - плоскость Oxz;

13) x = 0 - плоскость Oyz.

46. Взаимное расположение плоскостей. Угол между двумя плоскостями.

Пусть плоскости ₁ и ₂ заданы соответственно уравнениями где и – нормальные векторы этих плоскостей (рис. 45). Очевидно, тогда косинус угла между плоскостями

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: