ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов 5 страница

⇐ Предыдущая 1 2 3 45

153. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей 0/0, inf/inf. Другие виды неопределенностей.

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и , то ;

Если и , то аналогично .

Это правило впервые упоминалось в книге по дифференциальному исчислению, опубликованной в 1696 (!) году французским математиком Гийомом Лопиталем (1661- 1704).

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

154. Необходимое и достаточное условие постоянства функции.

Теорема
Пусть функция f (x) определена в промежутке X и имеет внутри него конечную производную f /(x), а на концах (если они принадлежат X) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f (x) была в X постоянной, достаточно условие f /(x)=0 внутри X.
Доказательство
Пусть это условие выполнено. Фиксируем некоторую точку x 0 из промежутка X и возьмем любую другую его точку x. Для промежутка [х0,х] или [х,х0] удовлетворены все условия теоремы Лагранжа. Следовательно, можем написать
f (x)− f (x 0)= f /(c)(x − x 0),
где c содержится между x 0 и x, а значит, заведомо лежит внутри X. Но, по предположению, f /(c)=0, так что для всех x из X
f (x)= f (x 0)= const.
Теорема доказана.
Заметим, что высказанное условие, очевидно, является и необходимым для постоянства функции.

Следствие. Пусть две функции f (x) и g (x) определены в промежутке X и внутри него имеют конечные производные f /(x) и g /(x), а на концах (если они принадлежат X) сохраняют непрерывность. Если при этом f /(x)= g /(x) внутри X,
то во всем промежутке X эти функции разнятся лишь на постоянную:
f (x)= g (x)+ C (С = const).

Для доказательства достаточно применить теорему к разности f (x)− g (x), так как ее производная f /(x)− g /(x) внутри X сводится к нулю, то сама разность в X будет постоянной.

155. Монотонность функции на интервале

156. Необходимое и достаточное условие монотонности функции.

Теорема (достаточное условие)
Если функция f(x) дифференцируема на (a,b) и f/(x)≥0 (f/(x)≤0) на (a,b), то f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b).
Доказательство
Рассмотрим случай когда f/(x)≥0. Рассмотрим две точки x1,x2∈(a,b) и применим формулу Лагранжа. На [x1,x2] функция f(x) удовлетворяет всем условиям этой теоремы. Следует, чтоx1<x2:
f(x2)−f(x1)=f/(c)(x2−x1), где c∈(x1,x2) и правая часть больше нуля, значит f(x2)−f(x1)≥0 или f(x2)≥f(x1) при x2>x1, функция не убывает.
Теорема доказана.
Замечание
Если требовать, что f/(x)>0 (f/(x)<0), тогда функция строго возрастает (убывает).

157. Экстремумы функции. Основные определения.

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство (f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ^'(x) > 0

(f ^' (x) < 0).

Точка x_о называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x_о, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x_о) (f(x) ≥ f(x_о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

158. Необходимое условие существования экстремумов функции.

Необходимые условия экстремума. Если точка x_о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ^'(x_о) = 0, либо f (x_о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

159. Первое достаточное условие существования экстремумов.

Первое достаточное условие. Пусть x_о - критическая точка. Если f^' (x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

160. Второе достаточное условие существования экстремумов.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
f ^' (x) в окрестности точки x_о и вторую производную в самой точке x_о. Если f ^' (x_о) = 0, >0 (<0), то точка x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

161. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

162. Направление выпуклости и вогнутости кривой. Основные определения.

163. Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой.

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:

если f '' (x) > 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b);

если f '' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b).

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x ₀ существует вторая производная f '' (x ₀), то f '' (x ₀) = 0.

Рассмотрим график функции y = x ³: Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6 x, но 6 x > 0 при x > 0 и 6 x < 0 при x < 0, следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x ³ является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x ³.

164. Точки перегиба графика функции. Достаточное условие точек перегиба.

Точка перегиба функции внутренняя точка области определения , такая что непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки , имеет в точку перегиба, то .

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция в некоторой окрестности точки раз непрерывно дифференцируема, причем нечётно и , и при , а , то функция имеет в точку перегиба.

165. Асимптоты кривой. Вертикальные асимптоты. Наклонные асимптоты.

Аси́мпто́такривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность^[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед^[3].

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например: