Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов 3 страница

(2.32)

Рис. 45

Если то – условие параллельности плоскостей.

Если то то есть – условие перпендикулярности плоскостей.

47. Уравнение плоскости проходящей через три точки

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, в ней заданы три несовпадающие точки , которые не лежат на одной прямой. Поставим перед собой следующую задачу: написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Покажем два способа ее решения.

Первый способ составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .

Известно, что общее уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость , которая проходит через точку , а нормальный вектор плоскости имеет координаты . Следовательно, мы можем составить общее уравнение плоскости, если знаем координаты точки, через которую она проходит, и координаты нормального вектора этой плоскости. От этого знания и будем отталкиваться при нахождении уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .

Итак, из условия задачи нам известны координаты точки (даже координаты трех точек), через которую проходит плоскость, уравнение которой нам требуется составить. Осталось отыскать координаты нормального вектора этой плоскости.

Так как нормальный вектор плоскости и любой ненулевой вектор этой плоскости перпендикулярны, то вектор перпендикулярен как вектору , так и вектору . Следовательно, в качестве вектора можно принять векторное произведение векторов и . Так как и (при необходимости обращайтесь к статье вычисление координат вектора по координатам точек), то . После вычисления записанного определителя, станут видны координаты нормального вектора , и можно записывать требуемое уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

48. Уравнение плоскости в отрезках.

, где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точек удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

Посмотрите на рисунок, поясняющий этот момент.

49. Нормальное уравнение плоскости

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz.

Рассмотрим плоскость, которая удалена на расстояние p () единиц от начала координат в положительном направлении нормального вектора плоскости . Будем считать, что длина вектора равна единице. Тогда его координаты равны направляющим косинусам, то есть, , причем . Обозначим расстояние от точки до плоскости как , то есть, точка N лежит на плоскости и длина отрезка ON равна p. Для наглядности отметим все данные на чертеже.

Получим уравнение этой плоскости.

Возьмем точку трехмерного пространства . Тогда ее радиус вектор имеет координаты , то есть, (при необходимости смотрите разделкоординаты радиус-вектора точки). Очевидно, что множество точек определяют описанную ранее плоскость тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора на направление вектора равна p, то есть, (смотрите рисунок ниже).

Тогда определение скалярного произведения векторов и дает нам следующее равенство . Это же скалярное произведение в координатной форме представляется как . Сопоставление двух последних равенств дает нам искомое уравнение плоскости . Перенесем p в левую часть, и мы получим уравнение , которое называется нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Нормальное уравнение плоскости иногда называют нормированным уравнением плоскости.

Итак, нормальное уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние p в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости .

50. Привидение общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Общее уравнение плоскости может быть приведено к нормальному виду умножением его обеих частей на так называемый нормирующий множитель . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку числа D. Если D = 0, то знак нормирующего множителя значения не имеет.

Общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель будет действительно нормальным уравнением плоскости, так как длина вектора с координатами равна единице
,
а правило выбора знака нормирующего множителя гарантирует выполнение условия .

51. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости – это расстояние от данной точки до основания перпендикуляра, проведенного из заданной точки к заданной плоскости.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.

алгоритм для нахождения расстояния от точки до плоскости следующий:

· составляем уравнение прямой a, которая проходит через точку М₁ и перпендикулярна к плоскости ;

· находим координаты точки H₁ - точки пересечения прямой a и плоскости ;

· вычисляем расстояние от точки М₁ до плоскости по формуле .

52.Уравнение линии в пространстве. Параметрические уравнение линии.

прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана системой из уравнений двух пересекающихся плоскостей

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид , где x₁, y₁ и z₁ – координаты некоторой точки прямой, a_x, a_y и a_z (a_x, a_y и a_z одновременно не равны нулю) - соответствующие координаты направляющего вектора прямой, а - некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.

При любом значении параметра по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел , она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой). К примеру, при из параметрических уравнений прямой в пространстве получаем Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида при некотором наборе значений A, B и C. координаты x₁, y₁ и z₁: .

53. Общее уравнение прямой линии в пространстве.

Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида при некотором наборе значений A, B и C.

54. Векторное уравнение прямой в пространстве

Можно задать прямую в пространстве и другим способом.

Ненулевой вектор, лежащий на прямой (параллельный ей) называется направляющим вектором прямой.

Пусть для прямой известны ее направляющий вектор и точка , лежащая на этой прямой. Пусть -- произвольная (текущая) точка прямой . Обозначим через и r радиус-векторы точек и соответственно (рис. 11.11).

Рис.11.11.Векторное уравнение прямой

Тогда вектор коллинеарен вектору p и, следовательно, , где -- некоторое число. Из рис. 11.11 видно, что

(11.12)

Это уравнение называется векторным уравнением прямой или уравнением в векторной форме. При каждом значении параметра мы будем получать новую точку на прямой

55. Параметрическое уравнение прямой

56. Каноническое уравнение прямой в пространстве

Канонические уравнения прямой

57.Уравнение прямой проходящей через две точки

направляющим вектором прямой a, которая проходит через точки М₁ и М₂, является вектор , он имеет координаты (при необходимости смотрите статьювычисление координат вектора по координатам точек его конца и начала). Таким образом, мы имеем все необходимые данные, чтобы написать каноническое уравнение прямой a – координаты ее направляющего вектора и координаты лежащей на ней точки (и ). Оно имеет вид (или ).

Также мы можем записать параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки и . Они имеют вид или .

58. Угол между двумя прямыми условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями и Очевидно, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых: Тогда (2.38) Если то Если , то или .

59. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду.

Если , то переносим слагаемое в правую часть равенства с противоположным знаком . В левой части равенства выносим А за скобки . Полученное равенство можно записать как пропорцию вида .

Если , то оставляем в левой части общего уравнения прямой только слагаемое , а остальные переносим в правую часть с противоположным знаком: . Теперь выносим в правой части равенства –B за скобки и записываем полученное равенство в виде пропорции . Вот и все.

60. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть плоскость  задана уравнением – ее нормальный вектор, а прямая задана уравнениями – направляющий вектор прямой. Обозначим – угол между прямой и плоскостью, – угол между соответствующими векторами.Очевидно, а или Но тогда синус угла между прямой и плоскостью можно найти по формуле

(2.39)

Если то (рис. 47), то есть или

(2.40)

– условие параллельности прямой и плоскости. При этом же условии прямая лежит в плоскости.

Если то , то есть – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть требуется найти точку пересечения прямой и плоскости Запишем параметрические уравнения прямой и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости. Получим уравнение вида относительно параметра t. Выразив t и подставив в параметрические уравнения, найдем координаты точки пересечения.

Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости.

Если уравнение относительно t примет вид 0  t = N (то есть М = 0, N  0), то такое уравнение решений не имеет, значит, прямая и плоскость не имеют общих точек, то есть прямая параллельна плоскости.

61. Общее уравнение прямой.

62. Частные случаи общего уравнения прямой.

Общее уравнение прямой называется полным, если все числа А, В и С отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным.

Рассмотрим все возможные варианты неполного общего уравнения прямой.

При общее уравнение прямой примет вид By+C=0. Это неполное общее уравнение прямой определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую параллельную оси Ох, так как при любых действительных значениях переменной х переменная y принимает одно и то же значение . Другими словами, общее уравнение прямой при определяет геометрическое место точек , ординаты которых равны одному и тому же числу .

При общее уравнение прямой примет вид y=0. Это общее неполное уравнение прямой определяет ось абсцисс Ox.

Аналогично, при имеем неполное общее уравнение прямой вида Ax+C=0. Это уравнение прямой параллельной оси ординат.

При имеем неполное общее уравнение прямой вида x=0 - уравнение координатной прямой Oy.

Если , то общее уравнение прямой примет вид . Это неполное общее уравнение прямой задает прямую, проходящую через начало координат. Действительно, пара чисел удовлетворяет равенству , так как .

63. Угол между двумя прямыми, заданными общим уравнением. Условие параллельности и перпендикулярности.

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле:

64. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку.

Уравнение

y = y0 + k (x – x0)

называется уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.

A (x0; y0)

65. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условие параллельности и перпендикулярности.

и обозначив , получим

. (2.19)

(2.18), (2.19) – уравнения прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.19) – ордината точки пересечения прямой с осью

66. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Пусть – заданная точка на прямой , – вектор, параллельный прямой, его называют направляющим вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой (рис. 22). Тогда , .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: