Решение типового примера. Пример 9.1. Найти частные производные первого и второго порядка функции .

Пример 9.1. Найти частные производные первого и второго порядка функции .

Решение. Найдем производные первого порядка.

При нахождении производной по переменной , переменная считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, следовательно, производная по переменной от первого слагаемого заданной функции будет равна: . Так как переменная считается константой, то и является константой и его производная будет равна нулю: . Таким образом, частная производная заданной функции по переменной равна:

.

При нахождении производной по переменной , переменная считается константой, тогда в первом слагаемом за знак производной вынесется : . Частная производная по переменной второго слагаемого . Тогда частная производная заданной функции по переменной равна:

.

Находим частные производные второго порядка. Для наглядности перепишем уже найденные частные производные первого порядка:

,

.

Для нахождения второй частной производной по переменной нужно первую производную еще раз продифференцировать по переменной :

.

Аналогично, чтобы найти вторую частную производную по переменной , дифференцируем снова по переменной :

.

Найдем смешанные производные и . Для того, чтобы найти берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по переменной :

.

Для нахождения частную производную дифференцируем по переменной :

.

Так как = , то достаточно найти любую из смешанных производных.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: