Неопределённый и определенный интегралы

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИКА

Методические указания к решению задач контрольных работ
студентов заочной формы обучения по сoкращённым программам

Факультет электроэнергетический

Направление подготовки: 220400 – Управление в технических системах

Вологда 2011

УДК 629.113.004.5

Математика: методические указания к решению задач контрольных работ студентов заочной формы обучения по скращенным программам. – Вологда: ВоГТУ, 2011. –29с.

В методических указаниях представлены решения задач курса математики изучаемых во 2-ом семестре студентами заочной формы с сокращенными сроками обучения. Также помещены задания двух контрольных работ для самостоятельного выполнения.

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ

Составитель: А.А. Абильдин, канд. техн. наук, доцент

Рецензент: О.И. Микрюкова, канд. физ.-мат. наук, доцент

Как показывает практика, домашние контрольные работы активизируют самостоятельную работу студентов и способствуют более глубокому изучению курса математики.

В данных методических указаниях помещены задания двух контрольных работ для самостоятельного выполнения студентов и образцы решения задач, которые, там где это необходимо, сопровождаются указаниями.

ТЕМА 1 [3, гл.X,XI]

Неопределённый и определенный интегралы

Прежде чем приступить к изучению интеграла, необходимо повторить основные формулы дифференцирования функций.

Нахождение интегралов состоит в последовательном сведении к табличным, которые следует выучить. Ниже приведены образцы решения примеров с некоторыми методическими указаниями:

Пример 1. Найти неопределённый интеграл

.

Решение. Заметим, что ( + 1)= , и перепишем данный интеграл в виде

.

Полученный интеграл табличный вида

, где .

Следовательно, .

Пример 2. Найти неопределённый интеграл

.

Данный интеграл находим с помощью формулы интегрирования по частям:

.

Обозначим: , , тогда ,

,

следовательно, .

Для нахождения интеграла от рациональной дроби обычно используется метод неопределённых коэффициентов. Суть его в том, что правильная рациональная дробь разлагается на сумму простых дробей, соответственно интеграл - на сумму более простых интегралов.

Пример 3. Найти неопределённый интеграл

.

Решение. Разложим рациональную дробь

на сумму рациональных дробей следующим образом:

.

Найдём коэффициенты A, B, C, приведя равенство к общему знаменателю и приравняв числители. Получим:

В этом равенстве приравняем коэффициенты при переменной х с одинаковыми показателями в левой и правой части.

Из этой системы получим: A=-4, B=7, C=1. Тогда:

Пример 4. Найти

Решение. Положим . Тогда .

Следовательно,

.

Положим . Тогда и

При вычислении определённых интегралов часто применяют замену переменной.

При этом возможны два пути:

1) после нахождения первообразной вернуться к начальной переменной и затем применить формулу Ньютона-Лейбница.

2) выполнив подстановку, соответственно изменить и пределы интегрирования. Тогда возврат к первоначально переменной оказывается ненужным.

Пример 5. Вычислить

.

Решение. Пусть , . Тогда и .

Применяем формулу интегрирования по частям для определённого интеграла

.

Для нахождения полученного интеграла положим 1+х=t. Тогда dx=dt, x=t-1 и если х=0, то t=1, если х=1,то t=2. Следовательно,

Тема 2 [3, гл.XI]

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: