Численное решение волнового уравнения

Для численного решения однородного волнового уравнения будем использовать метод сеток или разностный метод.

Сеткой на плоскости называется дискретная совокупность точек- узлов сетки ( где положительные числа, называемые шагами сетки по t и x, соответственно; n,j – целые числа. Совокупность узлов, соответствующих какому-либо фиксированному значению n, называется слоем.

Функция, заданная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Сеточная функция обозначается следующим образом: Здесь n- номер слоя по времени t, j- номер узла по переменной x.

В качестве волнового уравнения остановимся на уравнении свободных колебаний струны

0<x<l, t>0 (1)

Здесь u(x,t)-искомая функция, характеризующая изменения отклонения точки струны от оси 0x с течением времени t, l- длина струны. Для решения уравнения (1) должны задаваться начальные и граничные условия.

Начальные условия первого рода:

(2)

Начальные условия второго рода:

(3)

где - начальная фаза струны, - значение скорости вдоль струны в начальный момент времени (при t=0).

Граничные условия:

(4)

где - функции, определяющие законы изменения положения в начале (при x=0) и в конце (при x=l) струны на промежутке времени t≥0.

Для численного решения уравнений (1)-(4) введем расчетную сетку. В системе координат {x,t} расчетная область 0≤x≤l, t≥0 разбивается на сетки: (j=0,1,2, , (n=0,1,2, k) (рис.4).

t

x

0

Рис.4

Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1):

, (5)

где j=1,2, n=0,1, k=

где j=0,1, (6)

где n=0,1,2, (7)

Покажем алгоритм решения системы уравнений (1)-(7). Сначала, использовав (2), (3), определим значения на первых двух слоях: n=0, n=1. Далее из уравнения (7) найдем Подставив эти значения в (5) при n=1, получим:

где j=1,2, и т.д, или в обобщенном виде:

(8)

где n=0,1,2, j=1,2,

Итак, алгоритм решения (8) дает возможность явно определить искомые величины.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: