Несобственные интегралы

Понятие несобственного интеграла является обобщением понятия определенного интеграла на случай, когда либо подынтегральная функция обращается в бесконечность, либо промежуток интегрирования бесконечен.

Пусть функция f(x) задана на [ ] и интегрируема на любом сегменте [ ] при > . Если предел интеграла

при существует, то его будем называть несобственным интегралом от функции f(x) в пределах от до и обозначать символом

Приведем достаточный признак существования несобственного интеграла- признак сравнения: если при x< и существует несобственный интеграл то существует также несобственный интеграл Поэтому существует предел интеграла при

Пример 6. Найти несобственный интеграл .

Решение. По определению

,

т.е. несобственный интеграл сходится к 1.

Пример. Покажем, что интеграл сходится при >0. Воспользуемся интегрированием по частям:

Первое слагаемое в правой части равенства имеет предел при x а интеграл

сходится на основании признака сравнения, так как и интеграл сходится. Следовательно, существует предел интеграла при x .

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. По определению ([3], c.382)

,так как вычисленный

интеграл при стремится к пределу 2, то несобственный интеграл сходится.

Тема 3

Двойной интеграл [1, гл.III]

Рассмотрим на нескольких примерах приемы вычисления двойных интегралов.

Пример 8. Вычислить повторный интеграл , затем изменить порядок интегрирования, вычислить полученный интеграл и сравнить ответы.

Решение.

а)

б) Строим область интегрирования (заштрихованная рис.1) согласно заданным пределам по x и по y и меняем порядок интегрирования.Эту область разобъем отрезком прямой y=1 (x на две замкнутые области D . В D y изменяется от 0 до 1, а x изменяется от 0 до y. В D имеем 1 . Окончательно поучим:

Рис.1

Пример 9. Вычислить двойной интеграл по области

.

Решение. Представим двойной интеграл в виде повторного: сначала по х, затем по у (рис.2)

Рис. 2

Интеграл найдём по частям.

Интеграл . Поэтому .

Тема 4 [4,гл.XIII]

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: