Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Системы линейных неоднородных уравнений




Пусть дана произвольная система линейных уравнений:

Обозначим через матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных системы, а через – матрицу, полученную из присоединением столбца свободных членов:

Матрица называется матрицей системы уравнений, а матрица расширенной матрицей этой системы.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы равнялся рангу расширенной матрицы . Если ранг матрицы равен рангу матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы равен рангу матрицы , но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество различных решений.

Замечание. При исследовании на совместность системы линейных уравнений иногда удобнее начинать с вычисления ранга расширенной матрицы , тогда попутно легко установить и ранг матрицы .

Пример 14. Установить совместность системы уравнений и число решений:

Составим расширенную матрицу и, пользуясь правилом прямоугольника, найдем ранг

Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы – значит, система линейных уравнений совместна. Поскольку ранг равен числу переменных, то система имеет единственное решение – оно было найдено раньше с помощью метода Гаусса.

Пример 15. Проверить, совместна ли система уравнений и каким будет решение.

.

Система уравнений совместна, а т.к. ранг меньше числа переменных, то она имеет бесчисленное множество решений. Оставим первые два линейно независимых уравнения и перенесем слагаемое с в правую часть ( называется свободной переменной).

Решаем по правилу Крамера

;

.

Задавая любые значения , будем получать множество значений и . Например, пусть , тогда . Или пусть , .






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных