F ’’(x)<0 для xÎ [a b].

В общем случае, для решения нелинейного уравнения по методу касательных справедлива Теорема 2.

Теорема 2

Пусть функция y = f(x) на отрезке [a,b] удовлетворяет условиям теоремы 1, т.е. уравнение (1.1) имеет на этом отрезке единственный корень. Если функция y=f(x) имеет 2-ую производную, сохраняющую знак на этом отрезке, то исходя из начального приближения х0 , удовлетворяющего условию: f(x0) f ’’ (x0) > 0, (1.6) корень уравнения (1) можно вычислить с точностью e по формуле (1.7)

Метод хорд

Пусть уравнение (1.1) f(x) = 0, на отрезке [a,b] удовлетворяет условиям теоремы 1, т.е. имеет единственный корень, и производные f’(x) и f’’(x) непрерывны и имеют постоянные знаки.

С геометрической точки зрения метод хорд эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки A[a, f(a)] и B[b, f(b)]. Возможны несколько вариантов расположения графика функции на отрезке [a,b].

Рассмотрим случай, когда f ^’’ (x) > 0 (график функции выпуклый книзу) для xÎ [a,b], f(а)<0, f(b)>0 (см. рис. 1.7).

Алгоритм метода

1. Выберем начальное приближение, исходя из условия

f(x₀) f ^’’(x₀) <0 (1.8)

Данное условие выполняется в точке x₀ = a (рис.1.7).

2. Проведем хорду к кривой y = f(x ) через точки A₀[a, f(a)] и B[b, f(b)].

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: