Свойства общего решения
1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то, вообще говоря, дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.
2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С0).
Определение. Решение вида у = j(х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.
Определение. Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.
Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием. 
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:



Теперь интегрируем: 




- это общее решение исходного дифференциального уравнения.
Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0=1; y0=2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|