ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:

Б. Определение усилий в стержнях способом

⇐ Предыдущая 15 16 17 18 192021 22 23 24 Следующая ⇒

Вырезания узлов

Вырезаем узел, где приложена активная сила F ₃, и изображаем его на чертеже. Реакции S ₁₁, S ₁₂ растянутых стержней 11, 12 направлены от узла (рис. 1.53).

Система сил (F ₃, S ₁₁, S ₁₂), действующая на узел, плоская сходящаяся. Аналитические условия равновесия такой системы сил выражаются системой уравнений:

Σ + Σ = 0 = – S₁₂ – S₁₁·cos(α) = 0; (1)

Σ + Σ = 0 = – F₃ + S₁₁·sin(α) = 0. (2)

Решая эту систему уравнений, получим:

из уравнения (2)

S₁₁ = F₃/sin(α) = 2/0,5 = 4,000 кН;

из уравнения (1)

S₁₂ = – S₁₁·cos(α) = – 4·0,866 = – 3,464 кН.

Так как значение S₁₁ > 0, а значение S₁₂ < 0, то стержень 11 растянут, а стержень 12 сжат.

Аналитический расчёт сразу же следует проверить графическим построением замкнутого силового многоугольника. Система сил (F ₃, S ₁₁, S ₁₂) уравновешенная, поэтому силовой треугольник, построенный на силах F ₃, S ₁₁, S ₁₂,должен быть замкнут. Силовой треугольник строится в выбранном масштабе (см. рис. 1.53). Построение начинается с известной силы F ₃.На силовом многоугольнике определяется истинное направление реакций растянутых стержней.

Графическая проверка подтвердила, что стержень 11 растянут, а стержень 12 сжат.

Графическую проверку рекомендуется выполнять сразу же после аналитических расчётов, так как этим устраняются ошибки в последующих расчётах.

Так как теперь известны реакции S ₁₁, S ₁₂растянутых стержней, то вырезается следующий узел, к которому приложена активная сила F ₂ (рис. 1.54).

Вырезанный узел находится в равновесии под действием сходящейся системы сил (F ₂, S ₁₂, S ₁₀, S ₉). Необходимо ещё раз отметить, что реакции растянутых стержней направляются от узла. Аналитические условия равновесия вырезанного узла выражаются системой уравнений:

Σ + Σ = 0 = – S₉ + S₁₂ = 0; (1)

Σ + Σ = 0 = – F₂ + S₁₀ = 0. (2)

Из уравнения (1) S₉ = S₁₂ = – 3, 464 кН < 0;

из уравнения (2) S₁₀ = F₂ = 9,000 кН > 0.

Таким образом, стержень 9 сжат, а стержень 10 растянут. Этот расчёт проверяется графическим построением силового многоугольника (см. рис. 1.54).

Необходимо отметить, что построение силового многоугольника начинают с известных сил F ₂ и S ₁₂, а точка пересечения линий действия реакций S ₉, S ₁₀ определит их направление и модуль. При этом если известно, что стержень сжат (стержень 12), то его реакцию (S ₁₂) направляют к узлу.

Графическое построение подтвердило правильность проведенных расчётов.

Определение остальных реакций S _i растянутых стержней проводится аналогичным способом. Результаты вычислений сводятся в таблицу.

Таблица

Реакции внешних связей	Реакции растянутых стержней
R_A, кН	X_B, кН	Y_B, кН	S₁, кН	S_i, кН	S₁₀, кН	S₁₁, кН	S₁₂, кН
11,198	15,198	11,000			9,000	4,000	–3,464

Усилия в отдельных стержнях загруженной фермы могут оказаться нулевыми. Такие стержни принято называть нулевыми.

Рассмотрим леммы, пользуясь которыми можно определить нулевые стержни плоской фермы, не производя её расчета.

Лемма 1. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся два стержня, то усилия в этих стержнях равны нулю (рис. 1.55).

Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержня, из которых два расположены на одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Усилия в первых стержнях равны между собой (рис. 1.56).

Лемма 3. Если в узле плоской фермы сходятся два стержня и к узлу приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю приложенной внешней силе, а усилие в другом стержне равно нулю (рис. 1.57).

1.21.3. Определение усилий в стержнях фермы

способом Риттера

Этим способом удобно пользоваться для определения усилий в стержнях при проверочных расчётах.

Идея способа Риттера заключается в следующем.

1. Ферму разрезают на две части сечением, проходящим только через три стержня.

2. Рассматривают равновесие одной из частей фермы, которая находится в равновесии под действием активных сил, реакций внешних связей и реакций растянутых стержней. При этом реакции растянутых стержней прикладываются к стержням в местах их разреза.

3. Определяют точки Риттера (I, II, III). Точки Риттера – точки, где пересекаются линии действия реакций растянутых стержней.

4. Составляют уравнения равновесия рассматриваемой части фермы в одной из двух форм.

Форма 1:

Σ M_(I)(F _i^E) + Σ M_(I)(R _i^E) = 0;

Σ M₍_II₎(F _i^E) + Σ M₍_II₎(R _i^E) = 0;

Σ M₍_III₎(F _i^E) + Σ M₍_III₎(R _i^E) = 0.

Форма 2:

Σ M_(I)(F _i^E) + Σ M_(I)(R _i^E) = 0;

Σ M₍_II₎(F _i^E) + Σ M₍_II₎(R _i^E) = 0;

Σ + Σ = 0.

5. Из этих уравнений равновесия находят неизвестные реакции растянутых стержней.

На рис. 1.58 изображена ферма и одна из её отрезанных частей.

Поскольку разрезанные стержни не параллельны, то имеется три точки Риттера (точки I, II, III). В этом случае для определения реакций растянутых стержней используется первая форма уравнений равновесия.

Σ M_(I)(F _i^E) + Σ M_(I)(R _i^E) = 0 =

= – F₂·b– F₃·2·b + S₇·2·b·sin(α) = 0; (1)

S₇ = = = 13,000 кН.

Σ M_(II)(F _i^E) + Σ M_(II)(R _i^E) = 0 = – F₃·b – S₉·b·tg(α) = 0; (2)

S₉ = – = – = – 3,464 кН.

Σ M_(III)(F _i^E) + Σ M_(III)(R _i^E) = 0 = – F₃·b + S₈·2·b·sin(α) = 0; (3)

S₉ = = = 2,000 кН.

Если в сечении фермы стержни параллельны, то используется вторая форма уравнений равновесия, так как имеется только две точки Риттера (рис. 1.59).

Согласно определению (точки Риттера), точка (I) Риттера находится в месте пересечения линий действия векторов S ₅, S ₆, а точка (II) Риттера расположена в месте пересечения линий действия векторов S ₆, S ₇.

Дано: F₁ = 2 кН; F₂ = 5 кН; F₃ = 10 кН; b = 2 м; α = 45^о.

Решение.

M_(I)(F _i^E) + Σ M_(I)(R _i^E) = 0 = F₂·b – S₇·b·tg(α) = 0; (1)

S₇ = = = 5,000 кН.