Несобственные интегралы

Рассмотрим . Функция определена на конечном промежутке и ограничена на нем. Если нарушается хотя бы одно из двух требований, то мы имеем дело с несобственным интегралом.

1. Пусть нарушается требование конечности чисел a и (или) b. При этом возможны случаи:

1) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном промежутке , где (рис. 3).

Несобственным интегралом первого рода называется и обозначается , то есть (1).

Если предел в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и его значение равно пределу правой части. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся.

2) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном промежутке , (рис. 4).

Несобственный интеграл первого рода в этом случае определяется по формуле (2).

3) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном отрезке этого интервала, тогда (3), причем несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (3). Если хотя бы один из них расходится, то расходится интеграл в левой части.

Замечание. Если первообразная функции на , тогда справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница , где , .

Пример.

2. Пусть нарушается требование ограниченности функции .

1) Пусть функция непрерывна на и , тогда (4).

2) Если непрерывна на и , тогда (5).

3) Если непрерывна на и (рис. 5), тогда

(6).

Интеграл в левой части равенства (6) называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части этой формулы; и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части этой формулы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: