Примеры решения задачи

Пример 1. Написать три первых члена степенного ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

Решение.

1) Запишем три первых члена степенного ряда:

при n=0 ,

при n=1 ,

при n=2 .

2) Найдем радиус сходимости степенного ряда по формуле (3). Для этого запишем коэффициенты рассматриваемого ряда и . Тогда

следовательно, промежуток (-2;2) является интервалом сходимости ряда.

3) Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости в точках x=-2 и x=2.

При x=-2 получим знакочередующийся ряд

Модуль общего члена данного ряда имеет вид Ряд расходится, так как не выполняется одно из условий признака Лейбница

,

то есть общий член ряда не стремится к нулю.

При x=2 получим ряд

Этот ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости:

.

Таким образом, на обоих концах интервала сходимости ряд расходится.

Ответ: интервал сходимости степенного ряда (-2;2).

Пример 2. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

Решение.

1) Найдем радиус сходимости степенного ряда по формуле (3). Для этого запишем коэффициенты рассматриваемого ряда , тогда

следовательно, промежуток является интервалом сходимости ряда.

2) Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости в точках и .

При получим знакочередующийся ряд

.

Данный ряд сходится по признаку Лейбница, так как:

а) абсолютные величины членов ряда монотонно убывают ,

то есть ;

б) предел модуля общего члена ряда равен нулю при

При получим ряд

Полученный ряд расходится как обобщенный гармонический ряд с показателем .

Ответ: ряд сходится при .

Пример 3. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

Решение.

1) Найдем радиус сходимости степенного ряда по формуле (4). Для этого запишем коэффициент рассматриваемого ряда , тогда

следовательно, промежуток является интервалом сходимости ряда.

2) Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости в точках и .

При получим знакочередующийся ряд

Ряд расходится, так как не выполняется одно из условий признака Лейбница – абсолютные величины членов ряда не убывают.

При получим ряд

.

Полученный ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости:

.

Замечание. При вычислении предела была использована формула

Ответ: ряд сходится при .

Пример 4. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

Решение.

1) Применим признак Даламбера. Учитывая, что ,

, найдем предел

.

Для сходимости ряда полученный предел должен быть меньше единицы, то есть или -3<x<1.

Следовательно, промежуток (-3;1) является интервалом сходимости ряда.

2) Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости в точках и .

При получим знакочередующийся ряд

.

Данный ряд сходится по признаку Лейбница, так как:

а) абсолютные величины членов ряда монотонно убывают

то есть

б) предел модуля общего члена ряда равен нулю при

При получим гармонический ряд

,

который, как известно, расходится.

Ответ: ряд сходится при .

ЗАДАНИЕ 9

В задачах 9.1-9.20 вычислить с точностью до 0,001 определенный интеграл , используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда.

Данные к заданию представлены в Приложении 9.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: