Загальні поняття про симетрію кристалів

Симетрією називається властивість геометричних фігур повторювати свої аналогічні частини деяке ціле число разів.

Симетрія геометричних тіл має два поняття: геометричне й фізичне. Якщо з геометричної точки зору до симетричних тіл відносять тіла, які складаються з однакових за зовнішньою формою й розміром частин, то фізична симетрія передбачає не тільки геометричну рівнозначність, але й фізичну - колір, твердість та ін.

Елементами симетрії називають допоміжні геометричні образи (точки, прямі, площини), за допомогою яких виявляється симетрія фігури або багатогранника.

Елементи симетрії кристалів

- центр інверсії C;

- поворотні осі симетрії L;

- інверсійні осі симетрії L_i;

- площини симетрії P;

- одиничні напрямки OH.

4.2 Центр інверсії (C)

Центром інверсії називається така точка всередині фігури, через яку, якщо провести пряму, то з обох сторін від неї на однакових відстанях перебувають аналогічні частини фігури. Як видно з рисунка 4.1, проведені прямі АА₁, ВВ₁ і ДД₁ на однакових відстанях від точки С з обох сторін мають аналогічні частини трикутників АВС і А₁В₁С₁. При цьому верхній трикутник АВС повернутий відносно нижнього трикутника А₁В₁С₁ на 180°. Це явище й одержало назву інверсії, а сама точка С, через яку проходить відбиття трикутника АВС у трикутник А₁В₁С₁,- центра інверсії. На рисунку 4.1 б зображені два паралелограми, грані яких також пов'язані між собою центром

На моделях кристалів центр інверсії можна визначити в такий спосіб. Покладемо модель будь-якою гранню на стіл. Якщо у всіх випадках угорі виявляється грань, паралельна і рівна першій, то центр інверсії є, якщо ж вгорі виявиться ребро або вершина, або грань, паралельна, але не рівна першій, то центра інверсії в кристалі не існує (рисунок 4.2).

4.3 Площина симетрії (L)

Площиною симетрії називається уявна площина, що ділить фігуру на дві рівні частини, і коли одна частина є дзеркальним відображенням іншої.

4.4 Поворотні осі симетрії (L)

Поворотною віссю симетрії називається пряма, при повороті навколо якої на 360° частини фігури повторюються ” n ” ціле число разів. При цьому частини фігури розміщені так, що шляхом їхнього обертання навколо осі на деякий кут фігура займає в просторі те саме положення, що вона займала й до повороту, тільки на місці одних частин розміщаються інші, аналогічні їм. При цьому сполучаються не тільки окремі частини, але й ціла фігура сама з собою. Наприклад, на рисунку 4.4 зображені три призми (а, б, г) і одна піраміда (в).

Якщо провести осі, перпендикулярні до їхніх підстав, то побачимо, що при повороті навколо обраних осей на 360° у першій призмі (L₂) є дві аналогічні частини, у другій - (L₃) - три й у третій (L₆) - шість; у піраміді (L₄) – чотири. Отже, для того щоб одержати характеристику осі симетрії, необхідно знайти найменший кут повороту, що приведе до самосполучення аналогічних частин фігури. Такий кут називається елементарним кутом повороту a. Відповідно порядок осі симетрії відповідає числу, що показує, скільки разів елементарний кут a повторюється при обертанні кристала навколо осі симетрії на кут 360°.

У кристалічних багатогранниках існують поворотні осі симетрії другого (L₂, а = 180°), третього (L₃, а = =120°), четвертого (L₄, а = 90°) і шостого (L₆, а = 60°) порядків (рисунок 4.4). Осі першого порядку (L₁, а = 360°) наявні у всіх кристалах у необмеженій кількості й визначальному значенні для систематики кристалічних тіл не мають. Осі п'ятого, сьомого й вище непарних, а також парних восьмого, дванадцятого й іншого порядків у кристалах відсутні.

Доказ неможливості осі п'ятого порядку.

Допустимо, що вісь п'ятого порядку в кристалах існує й проходить перпендикулярно до площини креслення. Позначимо її вхід точкою О (рисунок 4.5). Візьмемо найближчий, але такий, що не збігається із точкою виходу п'ятої осі на вузол кристалічної ґратки А₁, що лежить у площині рисунка.

Можливо, що при обертанні навколо осі п'ятого порядку при повороті на 72° вузол А₁ перейде в положення А₂, А₃, А₄, А₅, поки не опише повне коло й не повернеться у своє вихідне положення. Ці п'ять вузлів, що лежать в одній площині, повинні утво-рити плоску сітку, що являє собою сукупність вузлів просторових ґраток.

З'єднавши точки А₁ і А₄, одержимо пряму, паралельну стороні А₂А₃ правильного п'ятикутника. Відомо, що всі паралельні ряди ґраток мають однакові між вузлові проміжки. Тому, відклавши на прямій А₁А₄ відрізок, що дорівнює А₂А₃, ми одержимо всередині п'ятикутника вузол А_x, який лежить ближче до О, тобто до осі п'ятого порядку, ніж кожна із точок А₁, А₂, А₃, А₄, А₅.

Таким чином, ми дійшли висновку, що суперечить прийнятій умові, що точка А₁ взята найближчою до осі п'ятого порядку, що суперечить ґратчастій будові кристалічних речовин.

Такий самий доказ можна навести для осей сьомого, восьмого й іншого вищого порядків. Що стосується осей другого, третього, четвертого й шостого порядків, то, дотримуючись вищенаведеного доказу, можна дійти висновку, що вони існують.

4.5 Інверсійні осі симетрії (L_i)

Інверсійною віссю симетрії називається пряма, при повороті навколо якої на 360° з відповідним перенесенням - відбиттям (інверсією) через центр кристала аналогічні частини сполучаються самі із собою ” n ” ціле число раз. У кристалах можуть бути наявними інверсійні осі четвертого L_i4 і шостого L_i6 порядків, інші осі відповідають раніше розглянутим елементам симетрії: L_i1=С; L_i2=Р; L_i3 - відповідає осі симетрії третього порядку (L₃) за наявності центра інверсії.

Для визначення інверсійних осей симетрії кристал рекомендується орієнтувати так, щоб L_i4 або L_i6 розміщалася вертикально. У подальшому при такій орієнтації кристал повертається на 60° або на 90°, а елементи кристала (вершини, ребра, грані) переносяться через його центр на протилежні сторони. Якщо після повороту навколо заданої осі зазначені елементи огранювання (вершина, ребро, грань) верхньої частини кристала будуть являти собою відбиття-інверсію через центр нижньої частини, то дана вісь дійсно є віссю інверсії певного порядку (L_i4 або L_i6), якщо ж немає - інверсійна вісь відсутня. Порядок осі визначається сумою частин кристала, які повторюються при його повороті на 360°.

Розглянемо інверсійну вісь у багатограннику, зображеному на рисунку 4.6. Він має вісь третього порядку L₃ (пряма LL), що одночасно є інверсійною віссю симетрії шостого порядку (L_i6). При повороті всіх частин багатогранника навколо осі LL на 60° і подальшому відбитті їх у центральній точці фігура сполучиться сама із собою. Так, після повороту ребра АВ навколо LL на 60° воно займе положення А₁В₁, що

Рисунок 4.7 - Приклад багатогранника

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: