КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Литература: (1, с.135-149; 2, с. 120-138; 3, с. 52-64; 4, с. 52-64)

Определение кривой второго порядка

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае это уравнение имеет вид:

(18)

где коэффициент – действительные числа и хотя бы одно из чисел А, В или С отлично от нуля.

К кривым второго порядка относятся линии: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Окружность

Окружностью называется совокупность точек, равноудалённых от одной и той же точки, называется центром. Уравнение окружности имеет вид:

(19)

где - координаты центра окружности, а - радиус окружности.

Пример 1. Составить уравнение окружности, которая проходит через точку и её центр находится в точке .

Решение. Воспользуемся формулой (19). Имеем ; . Найдём радиус окружности

. Тогда уравнение окружности имеет вид:

Эллипс

Эллипсом называется совокупность точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называется фокусами, есть величина постоянная. Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:

(20)

где - большая. - малая полуоси эллипса (рис. 6)

- фокусное расстояние.

Связь между , и определяется формулой:

(21)

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется эксцентриситетом :

(22)

Для эллипса , так как . Фокусы эллипса лежат на большой оси.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и .

Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид (20): . Так как точки и лежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют уравнению (20).

Имеем:

Решая систему получим: , . Следовательно, уравнение эллипса имеет вид: .

Гипербола

Гиперболой называется совокупность точек, разность расстояний которых до двух данных точек, называется фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

(23)

где - вещественная, - мнимая полуоси (рис. 7).

- фокусное расстояние. Связь между , и определяется соотношением:

(24)

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых:

(25)

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Фокусы гиперболы расположены на действительной оси.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку , зная, что её эксцентриситет равен .

Решение. Такая точка М лежит на гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению гиперболы. Подставив , в уравнение (23), получим . Так как эксцентриситет , то по условию получим , или . Используя формулу (24), имеем . Следовательно, . Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид .

Парабола

Параболой называется совокупность точек, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы:

(26)

где - параметр, , определяет расстояние от фокуса до директрисы (рис. 8)

Другие виды уравнений параболы (рис. 9)

Пример 4. Парабола симметрична оси Ох, проходит через точку , а вершина его лежит в начале координат. Составить её уравнение.

Решение. Так как парабола проходит через точку с положительной абсциссой, а её осью служит ось Ох, то уравнение параболы имеет вид . Подставив координаты тачки А в это уравнение, получим , . Следовательно, искомое уравнение имеет вид .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: