Математическая модель динамической системы. Определение адаптивной системы

В.В. Путов

Некоторые сведения из математической теории устойчивости нелинейных систем

(систем нелинейных дифференциальных уравнений)

(конспект лекций)

Оглавление

Список литературы

1. Демидович В.П. Лекции по математической теории устойчивости: Учебное пособие (Второе издание). М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. 480 с.

2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с..

3. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

4. Фурасов В. Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977. 248 с.

5. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод в теории устойчивости. М.: Мир, 1988. 300 с.

6. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. 320 с.

7.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 216 с.

8. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

9. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А. А. Воронова и В. М. Матросова. М.: Наука, 1987. 312 с.

10. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

11. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат. 1950. [Докторская диссертация, 1892].

12. Путов В. В. Адаптивное управление динамическими объектами: беспоисковые системы с эталонными моделями: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2001. 92 с.

13. Путов В. В. Методы построения адаптивных систем управления нелинейными нестационарными динамическими объектами с функционально-параметрической неопределенностью: Дисс. д-ра техн. наук / СПбГЭТУ. СПб., 1993. 590 с.

14. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы. - М.: Наука, 1990.- 296 с.

15..В. Путов, В.Н. Шелудько Адаптивные и модальные системы управления многомассовыми нелинейными упругими механическими объектами. СПб.: ООО «Техномедиа» / изд-во «Элмор», 2007. 244 с.

Лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни было истин, чем желать это без всякого метода, ибо совершенно несомненно, что подобные беспорядочные занятия и темные мудрствования помрачают естественный свет и ослепляют ум.

Рене Декарт

(Картезий) (1596 -1650)

Основные понятия и определения математической теории устойчивости

Математическая модель динамической системы. Определение адаптивной системы

Будем рассматривать конечномерную нелинейную и нестационарную систему обыкновенных дифференциальных уравнений в непрерывном времени (говорят, динамическую систему, динамический объект или, короче, объект) вида:

, (1.1.1)

-порядок системы, .

Систему (1.1.1) для краткости будем записывать в виде векторного уравнения:

(1.1.2)

где - вектор состояния, - вектор управления, t - время (вещественная переменная),

- множество допустимых управлений - вектор-функции u, - правые части дифференциальных уравнений (1.1.1) или (1.1.2), , означает неназванные аргументы.

Область[1] определения вектор-функции f правых частей дифференциальных уравнений (1.1.1) или (1.1.2) имеет следующий вид:

(1.1.3)

где знак «×» означает декартово произведение множеств,

- множество моментов времени (вещественная полуось), - -мерное линейное (афинное) пространство над полем .

В можно построить какую либо норму («длину» вектора), например, векторную евклидову норму вида тогда пара { , ||·||},называется линейным нормированным пространством (над полем R).

Вектор-функция в области обладает следующими свойствами:

(а) f - непрерывна по всем аргументам ;

(б) f - имеет непрерывные частные производные вида , (1.1.4) ограниченные равномерно по на любом компактном подмно-

жестве из области

Условия (1.1.4) обеспечивают однозначную разрешимость системы дифференциальных уравнений (1.1.1) или (1.1.2) для любой тройки ,т.е для любой точки и некоторого управления существует единственное решение системы дифференциальных уравнений (1.1.2) вида , определённое на некотором промежутке , и удовлетворяющее тождеству:

(1.1.5)

Пара называется начальными данными решения , тождество (1.1.5) называется начальным условием решения , а само решение называется решением задачи Коши.

Таким образом, условия (1.1.4) обеспечивает существование и единственность решения, проходящего через любую точку с некоторым управлением u. А это означает, что для системы дифференциальных уравнений (1.1.2) имеет место следующая эквивалентность:

условия (1.1.4) для -область единственности.

Определение. Система дифференциальных уравнений (1.1.1) или (1.1.2) определяет так называемую конечномерную гладкую динамическую систему с непрерывным временем. Это наиболее общая (и общеупотребительная) математическая модель нелинейной и нестационарной динамической системы, которую рассматривает современная математическая теория систем управления. ■

Определение. Динамическая система (1.1.2) называется системой с обратной связью, если управление u есть функция состояния и времени:

Тогда

(1.1.6)

называется системой с обратной связью (по состоянию), или замкнутой системой (по состоянию). ■

Замечание. Отметим, что в системе с обратной связью по состоянию (1.1.6) из правых частей исключено управление и они зависят только от аргументов , поэтому при дальнейшем изложении методов теории устойчивости систем управления будем описывать систему векторным уравнением , опуская черточку над f в уравнении (1.1.6) и аргумент u в уравнении (1.1.2).■

Определение. Решением системы

(1.1.7)

называется функция , обладающая следующими свойствами:

(а) - определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема по на некотором промежутке , включающем точку t ₀;

(б) точки - области определения системы (1.1.7) вида (опускаем аргумент u):

; (1.1.8)

(в) удовлетворяет уравнению (1.1.7):

■

Определение. Решение системы (1.1.7) называется бесконечно продолжимым (продолжаемым) вправо, если оно определено на всем полубесконечном интервале времени . ■

В теории дифференциальных уравнений имеет место следующая теорема.

Теорема (о свойствах продолжимости решений дифференциальных систем)

Пусть дана система (1.1.7)

и пусть область существования f вида (1.1.8) есть область единственности, то есть правые части f удовлетворяют свойствам:

а) f - непрерывно по ;

б) f - непрерывно дифференцируема по x и - (1.1.9)

ограничены равномерно по на любом компактном

подмножестве из .

Тогда все решения системы (1.1.7) обладают следующими взаимоисключаемыми свойствами:

(а) либо все решения бесконечно продолжимы вправо;

(б) либо все решения - существуют на ограниченном интервале , и имеет место следующие предельное соотношение: , то есть при бесконечном приближении к правому концу интервала слева решение уходит на (по норме) ■.

В дальнейшем будем обозначать решение системы (1.1.7) той же буквой :

Определение адаптивной системы. Формулировка задачи адаптивного управления (на содержательном уровне). В адаптивном управлении используют следующую математическую модель динамической системы (объекта):

(1.1.10)

Пусть модель (1.1.10) задана в области (1.1.3) и f (·) удовлетворяет условиям (1.1.4).

Эта модель является иной записью уравнения (1.1.2) , когда в описании системы подчеркивают то, что она не может быть полностью определена, то есть в правых частях ее дифференциальных уравнений имеются неизвестные параметры и (или) функции. Эти неизвестные свойства правых частей «вносят» в некоторую неизвестную вектор-функцию вида

, , (1.1.11)

где - любое положительное целое число.

Определение. Динамическая система (объект) (1.1.10) называется системой (объектом) с параметрической неопределенностью если - постоянный (числовой) вектор или вектор-функция времени .

Динамическая система (объект) (1.1.10) называется системой (объектом) с функционально-параметрической неопределённостью, если вектор – функция зависит, вдобавок, от состояния■.

Итак, - N -мерная вектор-функция неизвестных параметров и функций системы (1.1.10), причем N не ограничено размерностью n системы.

Вектор функция принадлежит множеству неизвестных функций , называемому множеством неопределенности, или классом адаптивности системы (объекта) (1.1.10).

Таким образом, имеем дело с множеством объектов или систем вида (1.1.10), характеризуемых классом адаптивности (неопределенности) . Говорят, что множество определяет класс адаптивности (неопределенности) системы (1.1.10).

Замечание. Очевидно, что все аргументы должны принадлежать области определения системы (1.1.10). Полагаем так же, что N -вектор не зависит от функции ■

Рассматривают следующие этапы построения адаптивного управления для системы (1.1.10):

1. Задают класс адаптивности

2. Формулируют цель адаптивного управления. Она, как правило, определяется некоторым целевым функционалом

, (1.1.12)

где Q - скалярная вещественная функция векторных аргументов и времени и целевым неравенством вида

, (1.1.13)

называемым целевым условием для целевого функционала (1.1.12).

3. Определяют закон адаптивного управления

(1.1.14)

где q - некоторая векторная функция настраиваемых параметров закона адаптивного управления . Отметим, что адаптивный закон (1.1.14) не должен зависеть от неизвестной вектор-функции Такое управление зачастую называется законом основного контура и подчеркивается, что оно строится по некоторым правилам, формулируемым вне задачи адаптивного управления.

4. Определяют правила настройки вектор-функции q, которые выражаются дифференциальным или алгебраическим уравнениями вида:

, или (1.1.15)

Замечание. Вектор-функция q может иметь размерность, вообще говоря, отличную от размерности N неизвестной вектор-функции x (t, x).■

Таким образом, приходят к системе (дифференциальных уравнений) вида:

(1.1.16)

Определение. Динамическая система (1.1.16) называется адаптивной системой, а подлежащие определению уравнения или называются алгоритмами параметрической настройки закона адаптивного управления (алгоритмами параметрической адаптации).■

Таким образом, задача адаптивного управления неопределенным объектом (1.1.10) может быть сформулирована следующим образом: найти (построить) закон адаптивного управления (закон основного контура) (1.1.14) не содержащий неизвестную вектор-функцию (1.1.11), и найти алгоритмы настройки (1.1.15) такие, чтобы обеспечивались ограниченность (по норме) всех решений адаптивной системы (1.1.16) и выполнение предельного целевого неравенства (1.1.13) во всем классе адаптивности (неопределенности) объекта (1.1.10), т.е. для всех значений вектор-функции (1.1.11).■

Говорят также, что адаптивное управление (1.1.14) и алгоритмы настройки его параметров (1.1.15) обеспечивают асимптотически (в силу целевого неравенства (1.1.13)) нечувствительность (робастность) системы (1.1.16) к параметрическим рассогласованиям (возмущениям) вида (1.1.11).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: