Основные определения устойчивости по Ляпунову решений динамических систем (систем обыкновенных дифференциальных уравнений)

А. М. Ляпунов (1857-1918) - знаменитый русский математик и механик, основатель метода функций Ляпунова – основного математического метода исследования устойчивости решений нелинейных и нестационарных, в общем случае, систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть дана конечномерная гладкая динамическая система с непрерывным временем, т.е. система обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1.7) вида:

(1.2.1)

с областью определения (1.1.8) вида

(1.2.2)

и вектор-функция удовлетворяет условиям (1.1.9) единственности области .

Пусть также дано некоторое известное фиксированное решение системы (1.2.1) вида

(1.2.3)

из области единственности, т.е. с начальными данными вида (1.2.2).

Отметим, что во втором методе Ляпунова исследуются только отдельные фиксированные решения (1.2.3) нелинейных нестационарных систем (1.2.1) в области единственности (1.2.2).

Определение 1 (устойчивости по Ляпунову). Решение системы (1.2.1) называется устойчивым по Ляпунову при (или, короче, устойчивым), если для любого наперед заданного положительного числа и любого начального момента времени существует (найдется) положительное число выбор которого, в общем случае, зависит от выбора , такое, что все решения системы (1.2.1), удовлетворяющие (строгому) неравенству

(1.2.4)

обладают следующими свойствами:

a) они бесконечно продолжимы вправо, включая и фиксированное решение ; т.е. все они определены на

б) для этих решений справедливо (строгое) неравенство

(1.2.5)

при всех t из полубесконечного интервала времени .■

Замечание. Отметим некоторые характерные черты устойчивого по Ляпунову решения, вытекающие из данного определения.