ТЕМА 1.9 Корреляционная связь и ее статистическое изучение

Связи между признаками и явлениями, ввиду их большого разнообразия, классифицируются по ряду оснований. Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, обусловливающие изменение других, связанных с ними признаков, называют факторными. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называют результативными. Связи между явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты, по направлению и по аналитическому выражению.

В статистике различают функциональную связь и стохастическую зависимость. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

По направлению выделяют связь прямую и обратную.

По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (линейные) и нелинейные (криволинейные).

Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой

у = а₀ + а₁х,

где у - индивидуальное значение результативного признака;

х - индивидуальное значение факторного признака;

а₀, а₁ - параметры уравнения прямой (уравнение регрессии).

Параметры уравнения прямой а₀ и а₁ определяются путем решения системы уравнений, полученных по методу наименьших квадратов.

При линейной и криволинейной зависимости между признаками теснота связи между результативными и факторными признаками определяется с помощью показателей - теоретического корреляционного отношения, индекса корреляции, коэффициента корреляции, коэффициента детерминации.

Теоретическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле

h = , , ,

где - вариация результативного признака под влиянием фактора х;

- вариация результативного признака под влиянием всех параметров.

Этот показатель изменяется от 0 до 1. Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем связь между признаками теснее.

Подкоренное выражение корреляционного отношения представляет показатель, который носит название коэффициента детерминации (D):

.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под влиянием признака фактора Х.

Для упрощения расчетов часто при определении тесноты корреляционной связи применяется индекс корреляции, который рассчитывается по следующей формуле:

,

где .

Индекс корреляции может принимать значения от 0 до 1.

Коэффициент корреляции (r) может принимать значения в пределах от -1 до 1. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснее связь между признаками. Рассчитывается по формуле

.

ПРИМЕР 7.

По бригаде рабочих имеются следующие данные:

Для характеристики зависимости между стажем и производительностью труда вычислите линейное уравнение связи и показатель тесноты связи. Проанализируйте параметры уравнения регрессии.

РЕШЕНИЕ.

Зависимость между стажем и производительностью труда линейная и выражается уравнением: у_х = а_{о +} а₁х,

где у _х - производительность труда; х - стаж; а_о и а₁ - параметры уравнения регрессии.

Для определения параметров уравнения регрессии построим расчетную таблицу

№ п/п	Стаж, г., х	Производительность, т., у		ху	ух = ао + а1 х
					10,4
					13,84
					22,44
					29,32

Подставим в систему нормальных уравнений фактические данные из таблицы:

n а_о + а₁ å х = å у 5 а_о + 30 а₁ = 95

а_о å х + а₁ å х = å ху 30 а_о + 254 а₁ = 698

Решая систему нормальных уравнений, получаем следующие результаты:

а ₁ = 1,72; а _о = 8,68.

Тогда уравнение корреляционной связи примет вид

у_х = 8,68 + 1,72 х.

Величина параметра а _о показывает, насколько производительность труда возрастает при увеличении стажа на 1 год.

Таким образом, приведенное уравнение дает возможность установить, каков должен быть теоретический уровень производительности труда при заданном стаже.

Для определения показателей тесноты связи между результативным и факторным признакам рассчитаем коэффициент корреляции r.

.

Для расчета построим таблицу

№ п/п	Стаж, г., х	Производи- тельность т., у
			-5		-12
			-3		-2
					-3

Рассчитаем средний стаж и среднюю производительность труда

= лет, = т.

Затем произведем расчет в таблице (графы 4-8).

Полученные расчеты подставим в формулу, предварительно определив s_х и s_у:

s_х = ² = ;

s = ;

r = .

Значение коэффициента показывает тесную связь между производительностью труда и стажем работы.

Вопросы для самоконтроля.

1. Как вы понимаете сущность корреляционной связи? В чем ее отличие от функциональной связи?

2. Каковы признаки парной корреляции?

3. Что значит найти уравнение регрессии?

4. Какой вид имеет система нормальных уравнений?

5. С помощью каких коэффициентов можно определить степень тесноты парной линейной зависимости?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: