Лінеаризація диференціальних рівнянь КО

Лінеаризація – це процес переходу від нелінійних диференціальних рівнянь до лінійних. Математичною основою лінеаризації є розклад нелінійної функції в ряд Тейлора, в якому залишаються тільки перші члени розкладу.

Лінеаризацію диференціальних рівнянь математичної моделі КО проводимо за правилом Тейлора, розкладаючи нелінійні функції у відповідні ряди:

Нехай

, (2.1)

, (2.2)

, (2.3)

. (2.4)

Проведемо лінеаризацію першого рівняння математичної моделі КО

, (2.5)

для цього нелінійні функції, які входять в дане рівняння розкладемо в ряди Тейлора, використовуючи загальну формулу

, (2.6)

тоді отримаємо

, (2.7)

(2.8)

. (2.9)

Підставивши отримані співвідношення у рівняння (2.5), отримаємо

(2.10)

Врахувавши, що при усталеному режимі , отримаємо рівняння рівноваги

(2.11)

Підставивши отриманий вираз у рівняння (2.10) і зробивши елементарні перетворення отримаємо лінеаризоване рівняння ММ КО

(2.12)

Аналогічно проведемо лінеаризацію рівняння

. (2.13)

Скориставшись формулою (2.6), отримаємо

(2.14)

. (2.15)

(2.16)

Підставивши вирази (2.14),(2.15),(2.16) а також (2.3),(2.8) в рівняння (2.13), отримаємо

(2.17)

Використавши рівняння рівноваги вираз (2.17) запишемо

(2.18)

(2.19)

Підставивши значення (2.12) в дане рівняння отримаємо

(2.20)

Тоді отримаємо друге лінеаризоване рівняння ММ КО

(2.21)

Провівши елементарні перетворення отримаємо рівняння у наступному вигляді

(2.22)

Отже, лінеаризована математична модель КО матиме вигляд

Привівши отриману математичну модель до форми Коші, отримаємо

(2.23)

де

; ;

; ;

a, b – відповідні коефіцієнти, які визначаються за формулами

, (2.24)

, (2.25)

(2.26)

(2.27)

Скориставшись рівняннями рівноваги визначимо невідомі коефіцієнти.

3 Обчислення коефіцієнтів лінеаризованої математичної моделі керованого об’єкта

Знайдемо невідомі параметри КО необхідні для обчислення коефіцієнтів ММ.

Так як ,отримаємо

; (3.1)

.

Використовуючи рівняння рівноваги (2.11), отримаємо

,

, (3.2)

.

Для визначення коефіцієнтів інтерполяційного полінома використаємо програму Inter.bas [див. Додаток А ]. В результаті одержимо:

Отримали функцію

. (3.5)

Знайдемо похідну отриманої функції

, (3.6)

підставивши відповідне значення тиску у (3.6), отримаємо

Отже .

Знайдемо коефіцієнти лінеаризованої ММ КО за формулами (2.21)-(2.24), підставивши відповідні значення

; ;

; ;

;

;

.

Отже лінеаризована ММ КО запишеться

(3.7)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: