Построение проекций линии пересечения многогранников

Из рассмотренных выше теоретических положений взаимного пересечения многогранных поверхностей следует, что для построения проекций линии пересечения пирамиды ДАВС с призмой EKGU (рис. 88) необходимо выполнить следующее:

- построить проекции точек пересечения рёбер пирамиды с гранями призмы;

- построить проекции точек пересечения рёбер призмы с гранями пирамиды;

Рис. 90 Рис. 91

- соединить попарно отрезками прямых одноимённые проекции точек пересечения ребер многогранников с гранями каждого из них, расположенных в одной и той же грани каждого из многогранников.

На чертеже проекции пирамиды и призмы расположены относительно друг друга таким образом, что происходит полное проницание призмы пирамидой. Это подтверждается взаимным расположением горизонтальных проекций геометрических фигур. В результате образуются две пространственные линии пересечения – линия входа и линия выхода.

Рассматривая расположение горизонтальных проекций рёбер пирамиды относительно горизонтально-проецирующих граней призмы, становится вполне очевидным, что с гранями последней пересекаются только рёбра ДВ, ДА и ДС боковой поверхности пирамиды. А так как грани призмы являются горизонтально-проецирующими, то с горизонтальными E_{1 1 1}K₁, E_{1 1}Ū₁U₁и U₁Ū_{1 1}G₁проекциями граней призмы совпадают горизонтальные 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 5₁ и 6₁ проекции точек пересечения рёбер ДВ, ДА и ДС пирамиды.

Фронтальные 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5₂, 6₂ проекции точек (рис. 89) строят на основании принадлежности их соответственно рёбрам ДВ, ДА и ДС пирамиды, проведя в направлении фронтальных проекций рёбер линии связи. Фронтальная 2₂ проекция точки 2 пересечения ребра ДВ пирамиды с гранью E K призмы является невидимой, так как фронтальная проекция этой грани призмы является невидимой. Проекцию 2₂ точки заключают в круглые скобки.

Далее (рис. 90) анализируют расположение рёбер прямой призмы относительно граней пирамиды. Из расположения горизонтальных проекций фигур относительно друг друга следует, что ребра K , G и UŪ призмы с поверхностью пирамиды вообще не пересекаются. Горизонтальные проекции этих рёбер находятся вне контура проекции пирамиды.

С гранями ДВС и ДВА боковой поверхности пирамиды пересекается только ребро E призмы. А так как ребро E призмы является горизонтально-проецирующей прямой, то с её E_{1 1}проекцией совпадают проекции 7₁ и 8₁ точек пересечения последней соответственно с гранями ДВС и ДВА пирамиды.

При этом точка 7 принадлежит грани ДСВ, а точка 8 – грани ДВА пирамиды. Но горизонтальная Д₁В₁А₁ проекция грани пирамиды на чертеже является невидимой, поэтому и горизонтальная 8₁ проекция точки, принадлежащей этой грани, тоже является невидимой и заключается в круглые скобки.

Построить фронтальные проекции точек 7 и 8, как принадлежащие проецирующему ребру E призмы, невозможно. Но точки 7 и 8

Рис. 92

принадлежат одновременно граням ДВС и ДВА пирамиды. Поэтому построение фронтальных проекций этих точек выполняют на основании принадлежности последних граням пирамиды – плоскостям, заданным на чертеже треугольниками ДВС и ДВА (рис. 91).

Известно, что точка принадлежит плоскости только в том случае, если она располагается на прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому, для построения фронтальных 7₂ и 8₂ проекций точек 7 и 8 на горизонтальной плоскости проекций через совпадающие проекции точек 7 и 8 и вершину Д пирамиды в каждой из граней проводят прямую линию. Она пересекает горизонтальную В₁С₁ проекцию стороны ВС треугольника основания пирамиды в точке 9₁ и горизонтальную В₁А₁ проекцию стороны АВ в точке 10₁. На основании принадлежности точки 9 стороне ВС и точки 10 стороне АВ строят фронтальные 9₂ и 10₂ проекции этих точек.

Соединив на фронтальной плоскости проекций точки 9₂ и 10₂ с точкой Д₂ прямыми линиями, получают фронтальные 9₂Д₂ и 10₂Д₂ проекции прямых, на которых должны располагаться фронтальные 7₂ и 8₂ проекции принадлежащих этим прямым точек.

В том месте, где фронтальная Е_{2 2} проекция ребра призмы пересекает прямые 9₂Д₂ и 10₂Д₂, находятся искомые фронтальные 7₂ и 8₂ проекции точек пересечения горизонтально-проецирующего ребра E призмы с гранями ДВС и ДВА пирамиды. При этом фронтальная 7₂ проекция точки 7 является видимой, а проекция 8₂ точки 8 – невидимой, так как принадлежит невидимой на плоскости П₂ грани ДВА пирамиды. Проекцию 8₂ заключают в круглые скобки.

В результате выполненных построений определены положения на чертеже проекций точек пересечения ребра E призмы с гранями ДВС и ДВА пирамиды.

Теперь на фронтальной П₂ плоскости проекций (рис. 92) отрезками прямых соединяют проекции точек пересечения рёбер пирамиды с гранями призмы и ребра E призмы с гранями пирамиды. При этом следует помнить о том, что соединять можно только точки, лежащие в одной грани многогранника.

Прямые, расположенные на видимых проекциях граней, выполняются линиями видимого контура – сплошной толстой линией, а на невидимых проекциях граней – штриховой линией.

В результате получают горизонтальные и фронтальные проекции двух пространственных линий взаимного пересечения пирамиды ДАВС с прямой призмой EKGU.

После построения проекций линий пересечения многогранников приступают к окончательной обводке простым карандашом соответствующей твердости проекций заданных геометрических фигур с учётом их видимости на чертеже. При этом, сплошные толстые линии выполняют мягкими (М, 2М) карандашами, выдерживая толщину этих линий в пределах 0,8….1,2 мм. Штриховые линии выполняют карандашом средней (ТМ) твёрдости толщиной 0,4.....0,5 мм. Линии связи, оси проекций и линии дополнительных построений выполняют твёрдыми
(Т, 2Т) карандашами толщиной 0,2….0,3 мм.

Все буквенные и цифровые обозначения должны быть выполнены стандартным (ГОСТ 2.304-81) чертёжным шрифтом размера: 3,5; 5 или
7 мм.

Правую половину поля чертежа (рис. 92) оставляют свободной для последующих графических построений – определения натуральных величин рёбер основания и боковой поверхности пирамиды ДАВС, необходимых для решения задачи 4 [1].

На чертеже представлены графические построения определения натуральных величин рёбер ДВ и ДА пирамиды способом плоскопараллельного перемещения.

1.8. Построение развёрток многогранных поверхностей.

Общие положения

В инженерной практике проектирования и изготовления различных деталей и металлических конструкций из листового материала довольно часто возникает задача построения развёрток различного рода поверхностей с нанесением на них линий пересечения.

Если поверхность представить не в виде абсолютно жёсткой оболочки, а как гибкую, но не растяжимую плёнку, то оказывается, что некоторые из поверхностей можно путём постепенного деформирования (разгибания) совместить с плоскостью так, что при этом не будет ни складок, ни разрывов.

Поверхности, обладающие этим свойством, называются развёртывающимися, а фигура, полученная от совмещения поверхности с плоскостью – развёрткой.

При этом, если рассматривать поверхность и её развёртку как точечные множества, то между ними устанавливается взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждой точке на поверхности соответствует единственная точка развёртки, каждой линии на поверхности соответствует линия на развёртке.

При этом прямая на поверхности переходит в прямую на развёртке, параллельные прямые также переходят в параллельные. Сохраняются длины линий, расположенных на поверхности, величины углов между линиями и площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями.

К числу развёртывающихся поверхностей относятся все многогранные поверхности. Развёрткой многогранной поверхности называется плоская фигура, полученная последовательным совмещением с одной и той же плоскостью всех её граней. Поэтому построение развёртки многогранной поверхности сводится, прежде всего, к определению натурального вида каждой из отдельных её граней.

1.8.1. Построение развёрток пирамидальных поверхностей

Боковыми гранями пирамиды (рис. 93, а) являются треугольники, для построения натуральной величины которых достаточно определить истинные длины их сторон – рёбер боковой поверхности и основания пирамиды.

Анализируя расположение рёбер пирамиды относительно плоскостей проекций, приходим к выводу о том, что все они являются прямыми общего положения, так как ни одна из проекций рёбер не параллельна и не перпендикулярна оси проекций Х. Отсюда возникает задача определения

Рис. 93

Рис.94

натуральной (истиной) величины каждого из рёбер поверхности пирамиды.

Для этих целей можно использовать любой из известных способов определения натуральной длины прямой, в частности, способ прямоугольного треугольника; способ замены плоскостей проекций; способ вращения вокруг прямых, перпендикулярных или параллельных плоскостям проекций; способ плоскопараллельного перемещения и другие. При этом можно определить натуральную величину каждого отдельного ребра или каждой отдельной грани поверхности пирамиды.

Выделим на чертеже (рис. 93, б) основание пирамиды – треугольник АВС, представляющий собой плоскость общего положения, так как ни одна из его проекций – ни фронтальная, ни горизонтальная, не представляет собой прямую линию.

Для определения натуральной величины треугольника АВС воспользуемся способом замены плоскостей проекций (рис. 94).

Известно, что для определения натуральной величины плоскости общего положения её необходимо вначале преобразовать в проецирующую плоскость, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

Решение этой задачи осуществляем в следующей последовательности.

Вначале в плоскости треугольника АВС строим произвольную горизонтальную прямую, например, горизонталь 1-B (1₂-B₂, 1₁-B₁).

Перпендикулярно горизонтальной проекции B₁-1₁ горизонтали проводим новую ось проекций П₁/П₄ и строим проекцию треугольника АВС на плоскости П₄.

В новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ треугольник АВС преобразован в проецирующую плоскость, так как теперь одна из его проекций, а именно проекция А₄-С₄-В₄, представляет собой прямую линию.

Для преобразования проецирующей плоскости в плоскость уровня на чертеже проводим новую ось проекций П₄/П₅ параллельно А₄-С₄ и строим новую проекцию треугольника АВС на плоскости П₅.

В новой системе плоскостей проекций П₄/П₅ проецирующая плоскость преобразована в плоскость уровня, поэтому треугольник АВС на плоскость П₅ спроецировался в натуральную величину.

Тем самым определены натуральные длины рёбер АВ (А₅В₅), ВС (В₅С₅) и СА (С₅А₅) основания пирамиды – треугольника АВС.

Для определения натуральной длины рёбер боковой поверхности пирамиды (рис. 95) – прямых SA (S₂A₂, A₁S₁), SC (S₂C₂, C₁S₁) и SB (S₂B₂, B₁S₁) – воспользуемся способом прямоугольного треугольника.

Вспомним суть этого способа. Если определять натуральную величину, например, прямой SA, на горизонтальной плоскости проекций, то вначале на фронтальной П₂ плоскости проекций определяют разницу Z¹ расстояний точек S₂ и A₂ до оси проекций Х. Затем на горизонтальной плоскости проекций через точку S₁ проводят прямую, перпендикулярную прямой S₁A₁. На этом перпендикуляре откладывают отрезок Z¹, равный разнице расстояний точек S и A до плоскости П₁, и получают точку ₁. Соединив точку ₁ с точкой A₁, получают прямоугольный треугольник, гипотенуза которого – прямая ₁A₁ и есть натуральная величина прямой SA.

С тем, чтобы не затенять проекционный чертёж, будем строить подобные прямоугольные треугольники для каждой из сторон несколько в стороне от чертежа.

Для этого вначале на фронтальной плоскости проекций через точки А₂, В₂ и С₂ проведем прямые, параллельные оси Х, до пересечения с линией связи проекций S₂ и S₁ точки S. Тем самым определим длины отрезков Z¹, Z² и Z³, равных разнице расстояний точки S и соответственно точек А, В и С до горизонтальной плоскости проекций.

Затем, в стороне от проекционного чертежа, проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную прямые.

На вертикальной прямой отложим отрезки Z¹, Z² и Z³. Получим соответственно точки А_Z″, В_Z″, С_Z″.

На горизонтальной прямой отложим отрезки, равные горизонтальным проекциям прямых S₁A₁, S₁В₁, S₁С₁. Получим соответственно точки Ā₁, ₁ и ₁.

Соединив теперь прямыми одноименные точки вертикальной и горизонтальной прямых, получаем гипотенузы Ā₁-А_Z″, ₁-В_Z″ и ₁-С_Z″прямоугольных треугольников, представляющие собой натуральные длины соответственно прямых SA, SB и SC.

Таким образом, помимо натуральной величины основания определены и натуральные длины рёбер боковой поверхности пирамиды SABC.

Это делает возможным построение развёртки поверхности пирамиды.

Для этого (рис. 96, а) на плоскости чертежа выбираем произвольную точку. Обозначим ее буквой, соответствующей вершине S пирамиды.

Разворотом циркуля, равным натуральной длине прямой SВ, проводим дугу окружности и в произвольном месте её отмечаем положение точки В. Соединив точки S и В прямой, получаем натуральную величину ребра SB пирамиды.

Затем из точки S раствором циркуля, равным натуральной длине прямой SA, проводим дугу. Из точки В проводим дугу раствором циркуля, равным натуральной длине прямой ВА. В месте пересечения дуг радиусами R_BA и R_SA получаем точку А.

Рис. 95

Рис. 96

Рис. 96

Соединив точку А (рис. 96, б) прямыми с точками В и S, получаем треугольник SBA, представляющий собой натуральную величину грани SBA пирамиды.

Затем (рис. 96, в) из точки S и точки А раствором циркуля, равным соответственно натуральным длинам прямых SС и АС, проводим дуги, которые пересекаются в точке С.

Соединив точку С (рис. 96, г) с точками А и S прямыми, получаем треугольник SАС, представляющий собой натуральную величину грани SAC пирамиды.

Подобным образом на чертеже (рис. 96, д) построены натуральные величины грани SCB и основания пирамиды.

Таким образом, в результате последовательного совмещения с плоскостью чертежа натуральных величин треугольников – граней, построена развёртка пирамидальной поверхности.

Следует обратить внимание на то, что натуральные величины треугольников – граней боковой поверхности пирамиды, специально не определялись. Они выявились путём построения их с помощью натуральных величин прямых, ограничивающих треугольники – ребер граней пирамидальной поверхности.

В связи с этим данный этот способ построения разверток многогранных поверхностей получил название – способ треугольников.

Довольно часто при построении развёрток пирамидальных поверхностей возникает необходимость перенесения на них отдельных точек или линий, принадлежащих поверхностям.

Рассмотрим пример (рис. 97, а) построения на развёртке точки K, лежащей на поверхности пирамиды SABC.

Известно, что если точка принадлежит плоскости – грани пирамиды, то она должна лежать на прямой, проведенной в этой плоскости.

На чертеже точка К (K₂, К_I) принадлежит грани SАВпирамиды.

Через вершину S пирамиды и точку К проведена прямая S-1 (S₂-1₂, S₁-1₁) которая пересекает ребро АВ основания в точке 1.

Для того, чтобы построить на развертке в грани SAB прямую S1, необходимо определить натуральную величину отрезка 1-A (1₂-A₂, 1₁-A₁), принадлежащего прямой АB.

Определив затем натуральную длину отрезка SK (S₂K₂, S₁K₁),можно на прямой S-1, построенной на развертке грани SАВ, найти истинное положение точки К, принадлежащей поверхности пирамиды.

Натуральная длина отрезка 1-А определена на чертеже (рис. 97, б) при построении натуральной величины основания ABC пирамиды способом замены плоскостей проекций.

Рис. 97

Рис. 97

Для определения натуральной длины отрезка SК (рис. 97, в) необходимо решить задачу на определение натуральной длины прямой
S-1(S₂-1₂), (S_I-1₁), на которой расположена точка K (K₂, K₁).

Решение этой задачи выполнено с помощью способа плоскопараллельного перемещения.

Тогда на развёртке пирамиды (рис. 97, г) в грани SAB из точки А раствором циркуля, равным натуральной длине отрезка А-1, делают засечку и получают точку 1 на прямой АВ.

Соединив затем точку 1 с точкой S прямой, получают на развёртке прямую 1-S, на которой должна быть расположена точка К, принадлежащая грани SAB пирамиды.

Для определения положения точки К на прямой S1 из точки S раствором циркуля, равным натуральной длине отрезка SK, делают засечку и отмечают положение точки К.

Указанным способом на развертке можно построить любое множество точек, принадлежащих пирамидальной поверхности.

1.8.2. Построение развёртки призматической поверхности
способом нормального сечения

Построение развёрток призматических поверхностей имеет свои особенности, которые в значительной степени определяются способом их образования.

Известно, что призматическая поверхность образуется при движении по ломаной направляющей прямолинейной образующей, сохраняющей параллельность заданному направлению. Отсюда вытекает взаимная параллельность ребер боковой поверхности призм.

Используя в общем случае способ замены плоскостей проекций, представляется возможным определить натуральную величину сразу всех ребер боковой поверхности призмы.

С другой стороны, при рассечении призмы плоскостью, перпендикулярной (нормальной) граням боковой поверхности, в сечении образуется многогранник, стороны которого перпендикулярны ребрам призмы.

Вершинами многогранника нормального сечения являются точки пересечения ребер боковой поверхности призмы с секущей плоскостью.

Если теперь стороны многогранника нормального сечения, представляющие собой натуральные величины расстояний между ребрами, расположить на одной прямой, а затем в точках, соответствующих вершинам сторон, провести перпендикулярные прямые, отложить на них натуральные величины соответствующих ребер и соединить попарно крайние точки ребер отрезками прямых, получим натуральные величины граней боковой поверхности

Рис. 98

призмы, совмещенные с плоскостью чертежа, то есть получим, таким образом, развертку боковой поверхности призмы.

Пристроив к ней натуральные величины оснований, получим полную развертку призматической поверхности.

Рассмотрим пример (рис. 98, а) построения развертки поверхности трехгранной наклонной призмы ABCДEF по вышеуказанной схеме.

Для определения натуральной величины ребер боковой поверхности наклонной призмы воспользуемся способом замены плоскостей проекций.

На чертеже (рис. 98, б) расположим новую ось проекций П₁/П₄ параллельно горизонтальной проекции одного из ребер, например C₁-Д₁, и построим новую проекцию призмы на плоскости П₄.

Отметим на новой проекции призмы и точку К (К₄), принадлежащую грани АЕДС.

Ребра боковой поверхности призмы в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ являются прямыми уровня, а поэтому их проекции A₄-Е₄, C₄-Д₄ и В₄-F₄ представляют собой натуральные величины ребер АЕ, СД и ВF.

Следовательно, только одним преобразованием проекционного чертежа удалось определить натуральные величины одновременно всех ребер боковой поверхности наклонной призмы.

Далее (рис. 98, г) пересечем призму в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ плоскостью a (альфа), перпендикулярной ребрам боковой поверхности и новой плоскости проекций П₄.

На чертеже след a₄ секущей плоскости располагается перпендикулярно проекциям ребер A₄-E₄,C₄-Д₄ и В₄-F₄. Отметим точки 1₄, 3₄ и 2₄ пересечения соответственно ребер A₄-E₄,C₄-Д₄ и В₄-F₄ со следом a₄ секущей плоскости. В сечении призмы проецирующей плоскостью a получится треугольник 1,2,3 (1₁,2₁,3₁; 1₄,2₄,3₄), представляющий собой нормальное сечение.

Продолжим след a₄ секущей плоскости (рис. 98, г) до пересечения с осью проекций П₁/П4 в точке i₄ и повернем секущую плоскость вместе с треугольником 1₄,3₄,2₄ до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций.

Тогда в плоскости П₁ получим натуральную величину нормального сечения – треугольник ₁, ₁, ₁.

Одновременно перенесем на прямую ₁- ₁ сечения проекцию ₁ точки K₄, лежащей в грани A₄E₄Д₄C₄.

Затем (рис. 98, д) на произвольной горизонтальной прямой отложим натуральные величины сторон треугольника 1₁,2₁,3₁ и точки K₁.

Через точки 1, 2, 3 и К (рис. 98, е) проведем прямые, перпендикулярные горизонтальной прямой, и отложим на них натуральные величины

Рис. 98

Рис. 98

расстояний вершин A₄, В₄, C₄, E₄, F₄, Д₄ и точки К₄ до следа a₄ секущей плоскости.

Соединив попарно прямыми вершины нижнего основания – точки A, B, С, А и верхнего основания – точки Е, F, Д, Е, получим развёртку боковой поверхности наклонной призмы и точку К, лежащую в грани АСДЕ (рис. 98, ж).

Прямые, соединяющие на развёртке точки нижнего и верхнего оснований призмы, представляют собой натуральные величины сторон треугольников оснований. Они непосредственно выявились на развертке, что существенно сократило трудоёмкость выполненных построений.

Пристроив натуральные величины треугольников верхнего и нижнего оснований к развёртке боковой поверхности, получаем полную развёртку призматической поверхности.

Рассмотренный способ построения разверток призматических поверхностей получил название – способ нормального сечения.

1.8.3. Построение развёртки призматической поверхности
способом раскатки

Особенности образования призматических поверхностей предопределили возможность использования в практике построения разверток многогранных поверхностей другого способа – способа раскатки боковых поверхностей призм.

Рассмотрим сущность этого метода на примере построения развертки той же трехгранной наклонной призмы АВСДЕF (рис. 99, а).

На чертеже представлены проекции призмы и точки М, лежащей на поверхности призмы в грани ВСДF. С целью определения натуральной длины ребер боковой поверхности призмы произведено преобразование чертежа с помощью способа замены плоскостей проекций. Далее было выполнено сечение призмы плоскостью a (альфа), перпендикулярной ребрам боковой поверхности и новой плоскости проекции П₄, и определена натуральная величина сечения – треугольника ₁, ₁, ₁.

На чертеже след a₄ секущей плоскости располагается перпендикулярно проекциям ребер А₄-Е₄, С₄-Д₄ и В₄-F₄. Продолжим
(рис. 99, б) след a₄ секущей плоскостью влево и отложим на нем натуральные величины сторон нормального сечения – треугольника ₁, ₁, ₁ и точку ₁, лежащую на прямой ₁- ₁ сечения. Получим точки: 3, ₁, 2, 1. Тем самым на следе a₄ секущей плоскости мы как бы развернули (раскатали) нормальное сечение – натуральную величину треугольника ₁, ₁, ₁.

Теперь (рис. 99, в) повернем грань С₄А₄Е₄Д₄ вокруг ребра А₄-Е₄ и совмести ее с плоскостью П₄. Тогда точка 3₄ займет положение точки 3 на прямой a₄, а отрезок 1₄-3 этой прямой есть не что иное, как натуральная величина стороны ₁- треугольника нормального сечения.

Вместе с гранью С₄А₄Е₄Д₄ вокруг ребра А₄Е₄ будут вращаться крайние точки ребра С₄-Д₄. Траектория их вращения представляет собой дуги окружностей, плоскости которых параллельны следу a₄ секущей плоскости.

В связи с этим плоскости окружностей вращения точек С₄ и Д₄ спроецируются на П₄ в прямые линии, проходящие через точки С₄ и Д₄ параллельно следу α₄.

Так как ребра боковой поверхности призмы параллельны друг другу, то через точку 3 на следе a₄ проводим прямую параллельную ребру С₄-Д₄. В пересечении этой прямой с проекциями траекторий вращений точек С₄ и Д₄ получаем точки С и Д. Прямая С-Д представляет собой натуральную величину одного из ребер боковой поверхности призмы.

Аналогичным образом (рис. 99, г) поворачиваем до совмещения с плоскостью П₄ следующую грань призмы – В₄С₄Д₄F₄, теперь уже вокруг

Рис. 99

Рис. 99

Рис. 99

ребра С₄-Д₄. Получаем на П₄ положение натуральной величины ребра В₄-F₄ – прямую ВF и точку М, лежащую на грани ВСДF.

И, наконец, (рис. 99, д) вокруг ребра В₄-F₄ поворачиваем до совмещения с плоскостью П₄ последнюю грань призмы – В₄А₄Е₄F₄. Получаем на П₄ положение натуральной величины ребра А₄Е₄ – прямую АЕ.

Соединив (рис. 99, е) попарно прямыми точки Е, F, Д, Е верхнего и точки А, В, С, А нижнего оснований и пристроив к развертке боковой поверхности верхнее и нижнее основания, получаем полную развертку трехгранной наклонной призмы.

Выбор того или иного способа построения развертки призматической поверхности в значительной степени зависит от вида и расположения призмы относительно плоскостей проекций.

Необходимо отметить, что трудоемкость построения развертки наклонной призматической поверхности можно весьма существенно сократить, преобразовав грани боковой поверхности призмы в проецирующие плоскости.

1.9. Последовательность выполнения построений графического решения задачи 4 [1]

Задача – построить развертки пересекающихся многогранников – прямой призмы с пирамидой. Показать на развертках линию их пересечения.

Как отмечалось выше, разверткой многогранной поверхности является плоская фигура, полученная последовательным совмещением с плоскостью чертежа всех ее граней.

В связи с этим, построение развертки многогранной поверхности сводится к определению натуральной величины каждой из отдельных ее граней, ограниченной отрезками прямых.

Для построения натуральной величины граней многогранников – пирамиды ДАВС и призмы ЕКGU (рис. 100), необходимо, прежде всего определить натуральную величину отрезков прямых – ребер каждой из граней этих многогранников.

Ребра основания и боковой поверхности пирамиды ДАВС, за исключением ребра ДС, являются прямыми общего положения.

Для определения натуральной величины прямых общего положения используют различные способы: способ прямоугольного треугольника, способ замены плоскостей проекций, способ вращения вокруг проецирующих прямых или прямых уровня, способ плоскопараллельного перемещения.

Рис. 100

Выбор того или иного способа определения натуральной величины прямой общего положения зависит прежде всего от трудоемкости выполнения необходимых графических построений и наличия свободного поля чертежа.

В графическом решении рассматриваемой задачи используется способ плоскопараллельного перемещения. Он определяет собой совокупность двух способов преобразования проекционного чертежа: способа замены плоскостей проекций и способа вращения вокруг проецирующих прямых.

На свободном поле чертежа (рис. 100) графического решения задачи 3 ось проекций ОX продолжена вправо. На расстоянии 45 мм от оси проекций ОZ проведена прямая линия, перпендикулярная продолжению оси ОX. Тем самым сохраняется заданная система плоскостей проекций: над продолжением оси ОX располагается фронтальная плоскость проекций, а под горизонтальная плоскость проекций. На новых положениях фронтальной и горизонтальной плоскостей проекций и определяется натуральная величина каждого из ребер или каждой из прямых, принадлежащих поверхности пирамиды ДАВС. Причем натуральную величину отрезков прямых можно определить на каждой из указанных плоскостей проекций.

Так, натуральная величина каждого из ребер основания пирамиды – треугольника АВС, представлена на горизонтальной плоскости проекций, а натуральная величина ребер ДВ, ДА и прямых Д9, Д10 боковой поверхности – на фронтальной плоскости проекции.

Для определения натуральной величины ребер АС, АВ и ВС основания пирамиды на новом поле фронтальной плоскости проекций на высоте проекции В₂ вершины В, как наиболее удаленной от горизонтальной плоскости проекций, проведена прямая линия, параллельная продолжению оси проекций ОX. На ней отложены длины отрезков А₂¹-С₂¹, А₂¹-В₂¹ и В₂¹-С₂² прямых, равных соответственно длинам фронтальных А₂-С₂, А₂-В₂ и В₂-С₂ проекций сторон АС, АВ и ВС треугольника основания пирамиды.

Через точки С₂¹, В₂¹, С₂², ограничивающие длины этих отрезков, а также точки 10₂¹ и 9₂¹, лежащие на них, проведены линии связи в направлении, перпендикулярном продолжению оси проекций ОX.

На горизонтальной плоскости проекций через горизонтальные А₁, В₁, С₁, 9₁ и 10₁ проекции точек проведены линии связи в направлении, параллельном продолжению оси проекций ОX. В пересечении соответствующих линий связи образуются новые горизонтальные А₁¹, В₁¹, С₁¹ и С₁² проекции вершин треугольника АВС основания пирамиды.

Попарно соединив отрезками прямых новые горизонтальные проекции вершин треугольника АВС, получаем новые горизонтальные
А₁¹-С₁¹, А₁¹-В₁¹ и В₁¹-С₁² проекции ребер основания пирамиды, с расположенными на них проекциями точек 9 и 10.

Проекции А₁¹-С₁¹, А₁¹-В₁¹ и В₁¹-С₁² и представляют собой натуральные величины ребер АС, АВ и ВС основания пирамиды.

Подобным способом определены натуральные величины ребер ДВ и ДА боковой поверхности пирамиды, а также натуральные величины прямых Д9 и Д10, лежащих соответственно в гранях ДВС и ДВА.

При этом, с целью рационального использования свободного поля чертежа, определение натуральной величины ребер боковой поверхности пирамиды выполнялось на фронтальной плоскости проекций, расположенной над продолжением оси проекций ОX.

Для этого на свободном поле горизонтальной плоскости проекций проводились линии, параллельные продолжению оси проекций ОX. На каждой из них откладывались отрезки Д₁-В₁², Д₁-А₁², Д₁-9₁ и Д₁-10₁, равные по длине соответственно горизонтальным Д₁-В₁, Д₁-А₁, Д₁-9₁ и Д₁-10₁ проекциям ребер ДВ, ДА и прямых Д9, Д10, с лежащими на них точками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Через новые горизонтальные проекции этих точек проводились линии связи в направлении, перпендикулярном продолжению оси проекции ОX.

На фронтальной плоскости проекций через фронтальные Д₂, В₂, А₂, 9₂ и 10₂ проекции точек проводились линии связи в направлении, параллельном продолжению оси проекций ОX. В пересечении соответствующих линий связи образуются новые фронтальные Д₂, А₂², В₂², 9₂ и 10₂ проекции точек, ограничивающих длины ребер и прямых боковой поверхности пирамиды.

Попарно соединив отрезками прямых новые фронтальные проекции точек, получают новые фронтальные Д₂-В₂², Д₂-А₂², Д₂-9₂, Д₂-10₂ проекции ребер ДВ, ДА и прямых Д9, Д10 боковой поверхности пирамиды с расположенными на них проекциями точек 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 7₂, 8₂.

Указанные новые фронтальные проекции ребер ДВ, ДА и прямых Д9, Д10 боковой поверхности пирамиды и представляют собой их натуральные величины.

Ребро ДС боковой поверхности пирамиды является отрезком горизонтальной прямой уровня, так как фронтальная Д₂С₂ проекция ребра располагается на чертеже параллельно оси проекции X. Поэтому горизонтальная Д₁С₁ проекция и представляет собой натуральную длину ребра ДС пирамиды.

В результате выполненных графических построений определены натуральные величины всех ребер и прямых поверхности трехгранной пирамиды. В связи с этим представляется возможность построения развертки пирамиды ДАВС (рис. 101).

Рис. 101

На листе чертежной бумаги формата А3 выполняют карандашом (твердости Т или 2Т) тонкими линиями рамки формата и чертежа, расположив длинную сторону формата горизонтально. В правом нижнем углу поля чертежа выполняют рамку основной надписи.

В левой стороне поля чертежа отмечают положение вершины Д пирамиды и приступают к построению развертки и нанесению линии пересечения с призмой, используя рекомендации, изложенные в параграфе «Построение развёрток пирамидальных поверхностей».

Построение развёртки поверхности пирамиды можно начинать с любой из её граней. В рассматриваемом примере графического решения задачи построение развёртки пирамиды выполнялось с грани ДАБ. С целью рационального расположения развёрток пирамиды и призмы на поле чертежа целесообразно выполнить эти графические построения предварительно на черновике.

Для построения развертки призмы EKGU не требуется определять натуральные величины ребер и прямых ее поверхности. Это объясняется тем, что по условию задачи четырехгранная призма EKGU является прямой. Нижнее основание призмы располагается непосредственно в горизонтальной плоскости проекций, а верхнее основание – параллельно нижнему. Поэтому на чертеже горизонтальные проекции нижнего и верхнего оснований не только совпадают, но и представляют собой их натуральные величины.

Горизонтальные E₁, K₁, G₁ и U₁ проекции вершин четырёхугольника основания призмы представляют собой горизонтальные проекции ребер её боковой поверхности, которые по отношению к горизонтальной плоскости проекций являются проецирующими.

На горизонтальной плоскости проекций имеются также натуральные величины расстояний вершин четырёхугольника оснований до образующих боковой поверхности призмы, на которых располагаются точки взаимного пересечения заданных многогранников.

Натуральные величины расстояний точек 1…6 пересечения рёбер ДВ, ДА и ДС пирамиды с гранями боковой поверхности призмы и точек 7, 8 пересечения ребра Е призмы с гранями ДВС и ДВА пирамиды по высоте от нижнего или верхнего оснований призмы измеряют непосредственно на фронтальной плоскости проекций. И так как нижнее и верхнее основания призмы представляют собой по сути дела натуральную величину её нормального сечения, то построение развертки призмы выполняют способом раскатки (см. параграф «Построение развертки призматической поверхности способом раскатки»).

На развертку поверхности призмы наносят положения точек пересечения рёбер пирамиды с гранями призмы и положения точек пересечения ребра Е призмы с гранями пирамиды. Попарно соединив отрезками прямых точки пересечения, принадлежащие одной и той же грани призмы, получают на развертке линию пересечения призмы EKGU с пирамидой ДАВС.

После выполнения рассмотренных графических построений приступают к окончательной обводке линий чертежа. При этом сплошные толстые линии выполняют мягкими карандашами (твердостью М и 2М), выдерживая толщину этих линий равной 0,8…1,2 мм. Тонкие линии вспомогательных построений на чертеже должны быть сохранены.

Все цифровые и буквенные обозначения выполняются стандартным (ГОСТ 2.304-81) чертежным шрифтом размера: 3,5; 5 или 7 мм.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: