Принадлежность точки и прямой многогранной поверхности

В связи с тем, что многогранная поверхность представляет собой некоторую совокупность множества отдельных граней – плоскостей, то решение вопроса о принадлежности точки и прямой многогранной поверхности обычно сводят к решению вопроса о принадлежности точки и прямой плоскости.

Известно, что точка принадлежит плоскости только в том случае, когда она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости. В свою очередь, признаком принадлежности прямой плоскости является принадлежность двух произвольных точек этой прямой плоскости. Ниже в качестве примеров рассматриваются задачи на построение проекций прямых, принадлежащих трехгранной пирамиде SABC. На чертеже (рис. 61, а) задана горизонтальная А₁К₁ проекция прямой АК. Требуется построить ее фронтальную проекцию.

Так как положение прямой на чертеже определяется проекциями двух ее точек, то достаточно построить фронтальную К₂ проекцию точки К, принадлежащей прямой SC, и затем соединить точки А₂ и К₂ отрезком прямой. В результате получают фронтальную А₂К₂ проекцию прямой АК, принадлежащую грани SAC пирамиды. Так как на фронтальной плоскости проекций эта грань пирамиды невидима, то проекция прямой А₂К₂ должна быть выполнена штриховой линией.

На чертеже (рис. 61, б) задана фронтальная E₂F₂ проекция прямой EF, принадлежащей грани SAC пирамиды. При этом точка Е принадлежит прямой SA, а точка F – прямой SC.

На основании принадлежности точек соответствующим прямым строят их горизонтальные Е₁ и F₁ проекции.

Соединив затем отрезком прямой точки E₁ и F₁, получают горизонтальную E₁F₁ проекцию прямой EF, принадлежащую грани SAC пирамиды.

На чертеже (рис. 62, а) задана фронтальная К₂ проекция точки К, принадлежащей пирамиде SABC. В связи с тем, что точка К₂ на чертеже не заключена в круглые скобки, т. е. фронтальная проекция точки К является видимой, становится очевидной принадлежность её грани SAB пирамиды.

На основании принадлежности точки плоскости, через К₂ проводят прямую, например S₂F₂ (рис. 62, б), лежащую в грани S₂A₂B₂. Затем строят горизонтальную S₁F₁ проекцию этой прямой и на ней определяют положение горизонтальной К₁ проекции точки К, принадлежащей грани SAB.

Ι.5.4. Пересечение многогранника с прямой и плоскостью.

Общие положения

Рассматривая в общем случае вопрос о пересечении какого-либо многогранника, например пирамиды SABC (рис. 63), с плоскостью ∑ (сигма) общего положения, нетрудно убедиться в том, что в сечении получается многоугольник. Вершинами его служат точки пересечения рёбер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами – отрезки прямых пересечения граней многогранника с секущей плоскостью.

Таким образом, задачу на построение сечения многогранника плоскостью общего положения можно свести либо к многократному решению задачи на пересечение прямой с плоскостью, либо к многократному решению задачи на взаимное пересечение двух плоскостей.

Так как решение первой задачи значительно проще, нежели решение второй, то обычно при построении сечения многогранника плоскостью общего положения вначале строят вершины сечения, как точки пересечения рёбер многогранника с секущей плоскостью, а затем соединяют отрезками прямых каждые две вершины, лежащие в одной и той же грани многогранника. При этом стороны многоугольника сечения, лежащие в видимых проекциях граней многогранника, на чертеже будут видимыми, а лежащие в невидимых гранях – невидимыми.

Ι.5.4.Ι. Пересечение многогранника с проецирующей

Плоскостью

При построении сечения многогранника, например пирамиды SABC (рис. 64, а), проецирующей плоскостью ∑, исходят из того, что со следом ∑₂ этой фронтально-проецирующей плоскости совпадает одна из проекций сечения многогранника. Вершины многоугольника сечения представляют собой точки пересечения прямых SA, SB, и SC – рёбер многогранника, с секущей фронтально-проецирующей плоскостью ∑.

На следе ∑₂ секущей плоскости (рис. 64, б) выявляют положения фронтальных 1₂, 2₂, и 3₂ проекций вершин многоугольника сечения.

На основании принадлежности точек 1, 2 и 3 соответственно прямым SA, SB, SC (рис. 64, в) строят их горизонтальные 1₁, 2₁ и 3₁ проекции.

Попарно соединив (рис. 64, г) отрезками прямых горизонтальные проекции вершин, лежащих в одной грани, получают вторую – горизонтальную проекцию сечения пирамиды SABC фронтально-проецирующей плоскостью.

На чертеже (рис. 65) представлен пример построения проекций сечения пирамиды SABC горизонтально-проецирующей плоскостью.

Ι.5.4.2. Пересечение многогранника с прямой.

Общие положения

В связи с тем, что любой многогранник представляет собой некоторую совокупность отдельных граней – плоскостей (рис. 66, а), вопрос о пересечении прямой с многогранником может быть сведён к нахождению точек пересечения этой прямой с соответствующими гранями многогранника.

Тогда, по аналогии с определением точки пересечения прямой с плоскостью, задачу на построение точек пересечения прямой с многогранником осуществляют в следующей последовательности:

- заданную прямую (рис. 66, б) заключают во вспомогательную секущую плоскость, чаще всего в проецирующую;

- строят сечение многогранника вспомогательной секущей плоскостью (рис. 66, в);

- определяют точки пересечения прямой с контуром сечения
(рис. 66, г). Рассмотрим примеры построения проекций точек пересечения прямых частного и общего положений с многогранником на конкретных примерах.

Ι.5.4.3. Пересечение многогранника с проецирующей прямой

На чертеже (рис. 67, а) заданы пирамида SABC и горизонтально-проецирующая прямая m. Требуется построить проекции точек пересечения прямой с многогранником. Из анализа расположения проекций фигур относительно друг друга и плоскостей проекций следует, что прямая пересекается с гранью SAB боковой поверхности пирамиды. А так как прямая m является горизонтально-проецирующей, то с горизонтальной m₁ проекцией этой прямой совпадает и горизонтальная К₁ проекция точки К пересечения прямой m с гранью SAB пирамиды (рис. 67, б). Для построения фронтальной проекции точки К исходят из принадлежности её плоскости – грани SAB.

На горизонтальной плоскости проекций через К₁ проводят произвольную прямую, принадлежащую грани S₁A₁B₁, например – прямую S₁F₁, и строят её фронтальную S₁F₁ проекцию.

В том месте, где фронтальные проекции прямых m и SF пересекаются, находится фронтальная К₂ проекция точки пересечения горизонтально-проецирующей прямой m с пирамидой SABC.

На рис. 68 представлен пример построения проекций точек пересечения фронтально-проецирующей прямой n с пирамидой SABC.

Из анализа взаимного расположения проекций фигур на чертеже следует, что прямая n пересекается с гранями SAB и SAC пирамиды.

С фронтальной n ₂ проекцией прямой совпадают проекции 3₂ и 4₂ точек пересечения её с гранями пирамиды.

На основании принадлежности точек 3 и 4 соответствующим граням строят их горизонтальные проекции.

В точках пересечения горизонтальных проекций прямой n и прямых S₁ и S₂ находятся проекции 3₁ и 4₁ точек пересечения фронтально-проецирующей прямой n с пирамидой SABC.

Ι.5.4.4. Пересечение многогранника с прямой общего положения

На чертеже (рис. 69, а) представлены проекции пирамиды SABC и прямой m общего положения.

Из анализа взаимного расположения проекций фигур на чертеже следует, что прямая m пересекается с гранями SAB и SBC пирамиды.

Задачу на построение проекций точек пересечения прямой m общего положения с гранями пирамиды решают в следующей последовательности:

1. Заключают прямую общего положения во вспомогательную проецирующую плоскость. На чертеже (рис. 69, б) прямая m заключена в горизонтально-проецирующую плоскость ∑, след которой совпадает с горизонтальной m₁ проекцией прямой m.

2. Строят многоугольник сечения пирамиды плоскостью ∑ (рис. 69, в).

3. Определяют положение проекций точек 4 и 5 пересечения прямой m с контуром фигуры сечения пирамиды вспомогательной секущей плоскостью ∑ (рис. 69, г). Отмеченные точки являются искомыми точками пересечения прямой m общего положения с многогранником – пирамидой SABC.

На чертеже (рис. 70) представлен пример решения той же задачи, но прямая общего положения заключена теперь уже во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость.

Ι.5.4.5. Пересечение многогранника с плоскостью общего положения

Выше отмечалось, что задачу на построение сечения многогранника (рис. 71), например пирамиды SABC, плоскостью общего положения обычно сводят к многократному решению задачи на пересечение прямой с плоскостью. Для этого вначале строят вершины многоугольника сечения, как точки пересечения рёбер SA, SB и SC многогранника с секущей плоскостью. А затем соединяют отрезками прямых каждые две вершины многоугольника сечения, лежащие в одной и той же грани многогранника.

Рассмотрим решение конкретных задач на построение проекций сечения многогранника плоскостью общего положения.

На чертеже (рис. 72, а) изображены: трёхгранная пирамида АВС и секущая плоскость a (альфа) общего положения, заданная двумя пересекающимися прямыми: фронталью – f и горизонталью – h.

Анализируя расположение заданных фигур на чертеже (рис. 72, б), устанавливают, что основание пирамиды – треугольник АВС и прямая h расположены в горизонтальной плоскости проекций, так как их фронтальные проекции совпадают с осью X.

Это позволяет определить на чертеже положения точек E и F пересечения прямой h, принадлежащей плоскости a, с гранью АВС многогранника.

Выявив горизонтальные Е₁ и F₁ проекции точек, строят их фронтальные Е₂ и F₂ проекции. Прямая EF (E₁F₁, E₂F₂) представляет собой линию пересечения пирамиды плоскостью общего положения.

Далее предполагают, что с секущей плоскостью a пересекаются рёбра SA, SB и SC боковой поверхности пирамиды.

Проекции прямых SA, SB и SC не параллельны и не перпендикулярны оси проекций X. Это значит, что каждая из прямых занимает в пространстве общее положение.

Тогда для построения проекций вершин сечения боковой поверхности пирамиды необходимо определить положения на чертеже проекций точек пересечения каждой из трёх прямых: SA, SB и SC, – с плоскостью a.

Так как прямые SA, SB и SC и плоскость a занимают общие положения, то для построения проекций точек их взаимного пересечения используют способ вспомогательных секущих плоскостей, в качестве которых чаще всего применяют проецирующие плоскости.

На чертеже (рис. 72, в) прямая SA заключена во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость ∑.

След ∑₂ секущей плоскости совпадает с фронтальной S₂A₂ проекцией прямой SA.

Прямая 1₂2₂ представляет собой фронтальную проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей: заданной – a и вспомогательной – ∑.

Строят горизонтальную 1₁2₁ проекцию линии пересечения плоскостей и на горизонтальной плоскости проекций рассматривают взаимное расположение проекций прямых SA и 1-2.

Горизонтальные 1₁2₁ и S₁A₁ проекции прямых пересекаются в точке 4₁. Фронтальная 4₂ проекция точки пересечения располагается на следе ∑₂ вспомогательной секущей плоскости.

Точка 4 (4₁, 4₂) является искомой точкой пересечения прямой SA с плоскостью a, так как она принадлежит обеим фигурам:

- прямой SA, потому что проекции точки 4 расположены на соответствующих проекциях этой прямой,

- плоскости a, потому что проекции точки 4 расположены на соответствующих проекциях 1 2, принадлежащей плоскости a.

Для построения точки пересечения прямой SC с плоскостью a заключает прямую во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость θ (тэта) (рис. 72, г).

След θ₂ секущей плоскости совпадает с фронтальной S₂C₂ проекцией прямой SС. Прямая 1₂2₂ представляет собой фронтальную проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей: заданной – a и вспомогательной – θ.

Строят горизонтальную 1₁2₁ проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей и на горизонтальной плоскости проекций рассматривают взаимное расположение проекций прямых S C и 1-2. Горизонтальные 1₁2₁ и S₁C₁ проекции прямых пересекаются в точке 5₁. Фронтальная 5₂ проекция точки пересечения располагается на следе θ₂ секущей плоскости.

Точка 5 (5₁, 5₂) является искомой точкой пересечения прямой SС с плоскостью a, так как она принадлежит обеим фигурам:

- прямой SС, потому что проекции точки 5 располагаются на соответствующих проекциях этой прямой;

- плоскости a, потому что проекции точки 5 располагаются на
соответствующих проекциях прямой 1-2, принадлежащей плоскости a.

Для построения точки пересечения прямой SB с плоскостью a
(рис. 72, д) заключают прямую во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Ф (фи).

След Ф₁ секущей плоскости совпадает с горизонтальной S₁B₁ проекцией прямой SВ.

Прямая 1₁2₁ представляет собой горизонтальную проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей: заданной a и вспомогательной – Ф.

Строят фронтальную 1₂2₂ проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей и на фронтальной плоскости проекций рассматривают взаимное расположение проекций прямых SB и 1-2. Фронтальные 1₂2₂ и S₂B₂ проекции прямых не пересекаются. Это означает, что в пространстве прямая SB не пересекается с плоскостью a.

Итак, (рис. 72, e) в результате выполненных построений выявлены положения проекций вершин – точки F, 4, 5, E многоугольника, который должен получиться при рассечении пирамиды SABC плоскостью a общего положения.

Попарно соединив отрезками прямых каждые две одноименные проекции точек, лежащих в одной и той же грани многогранника, получают проекции F₁, 4₁, 5₁, E₁, F₁ и F₂, 4₂, 5₂, E₂, F₂ многоугольника сечения пирамиды SABC плоскостью общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми: фронталью – f и горизонталью – h.

Известно, что от расположения фигур в пространстве относительно заданной системы плоскостей проекций – общего или частного – в значительной степени зависит трудоемкость решения той или иной метрической или позиционной задачи.

На чертеже (рис. 73, а) секущая плоскость a (a₁, a₂) и ребра боковой поверхности пирамиды: SА (S₁A₁, S₂A₂), SC (S₁C₁, S₂C₂) и SB (S₁B₁, S₂B₂) занимают общие положения относительно заданной системы плоскостей проекций.

Если же секущую плоскость a общего положения преобразовать в проецирующую (рис. 73, б), то трудоёмкость построения проекций точек пересечения ребер пирамиды с плоскостью a, весьма существенно уменьшится. В связи с тем, что секущая плоскость a задана на чертеже двумя пересекающимися прямыми: фронталью – f и горизонталью – h, её легко преобразовать в проецирующую, например, способом замены плоскостей проекций.

Для этого достаточно на чертеже на горизонтальной плоскости проекций провести новую ось проекций П₁/П₄ перпендикулярно горизонтальной h ₁ проекции горизонтали h и построить новую проекцию f ₄ прямой f, так как горизонтальная прямая h преобразуется в новой П₁/П₄ системе плоскостей проекций в точку h ₄ расположенную непосредственно на новой оси проекций. Таким образом, в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ плоскость a общего положения является проецирующей, так как теперь одна из её проекций a₄ представляет собой прямую линию, совпадающую с проекцией f ₄ фронтальной прямой. В новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ строят проекцию пирамиды: S₄ A₄ B₄ C₄.

Выполненное преобразование позволяет не только сразу выявить положения проекций 4₄ и 5₄ точек пересечения соответственно прямых SА и SC с секущей плоскостью (рис. 73, в), но и установить, что прямая SB в пространстве вовсе не пересекается с плоскостью a, так как прямая S₄ B₄ не пересекается со следом a₄ секущей плоскости. Значит, прямая SВ с плоскостью a не пересекается. А в решении задачи по первому варианту не пересечение прямой SВ с плоскостью a выявилось только с помощью построения линии пересечения плоскости a вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскостью Ф, проходящей через прямую SB. На основании принадлежности точек 1, 4, 2 и 5 соответствующим прямым строят их фронтальные проекции: 1₂, 4₂, 5₂ и 2₂. Попарно соединив отрезками прямых одноимённые проекции точек, лежащих в одной и той же грани, получают проекции: 1₁, 4₁, 5₁, 1₁ и 1₂, 4₂, 5₂, 1₂ – многоугольника сечения пирамиды SABC плоскостью a общего положения.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте закономерность образования призматической поверхности.

2. Сформулируйте закономерность образования пирамидальной поверхности.

3. Какая поверхность называется многогранной?

4. Какой многогранник называется выпуклым?

5. Каким образом изображаются многогранники на чертежах?

6. В каких случаях обозначение проекций вершин многогранника является обязательным?

7. Каким образом достигается обратимость чертежа многогранника?

8. Каким образом определяется видимость проекций ребер многогранника? Покажите на примере.

9. Сформулируйте признак принадлежности прямой линии многогранной поверхности.

10. Сформулируйте признак принадлежности точки многогранной поверхности.

11. На чем основано построение проекций точки пересечения проецирующей прямой с многогранной поверхностью?

12. На чем основано построение проекций точки пересечения многогранника с проецирующей плоскостью?

13. Изложите последовательность определения положения проекций точек пересечения прямой общего положения с многогранником.

14. На чем основано применение проецирующих плоскостей для построения проекций точек пересечения прямой общего положения с многогранником?

15. Каким образом и в какой последовательности выполняют построение проекций линии пересечения многогранника с плоскостью общего положения?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: