Тема 8. Средние величины и показатели вариации в статистике

Средняя является наиболее распространенным обобщающим показателем в статистике. Это объясняется тем, что только с помощью средней можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку.

Средняя отражает то общее, что скрывается в каждой единице однородной совокупности. Она улавливает общие черты, общую закономерность массовых общественных явлений, которые проявляются в силу закона больших чисел. Вместе: с тем в средней величине погашаются индивидуальные особенности отдельных единиц совокупности.

Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку, которая показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности.

С помощью средних можно сравнивать между собой различные совокупности по варьирующим признакам.

Средняя может отличаться от всех индивидуальных значений признака на произвольную величину, но сумма отклонений от средней всегда равна нулю.

Основное условие использования средних в статистике заключается в использовании качественно однородной совокупности. Только при этом условии средняя действительно будет отражать то общее, что существенно и характерно для данной совокупности, и выявит типичный размер признака.

Средние величины существуют в двух формах:

- простой;

- взвешенной.

Выбор формы средней обусловлен формой представления данных. Взвешенная – в сгруппированных.

Формы Виды	Простая	Взвешенная
1. Средняя арифметическая
2. Средняя гармоническая
3. Средняя квадратическая
4. Средняя геометрическая
5. Средняя хронологическая		–

Среднее значение признака;

индивидуальное значение усредняемого признака;

количество единиц совокупности;

частота (вес) индивидуальных значений признака;

общий объём совокупности;

Выбор вида средних зависит от характера усредняемого признака и наличия исходных данных.

Гармоническая средняя применяется в тех случаях, когда отсутствуют данные о частоте признака, а имеются данные о произведении частоты на значение признака.

Квадратическая средняя используется для расчёта средних отклонений.

Геометрическая средняя применяется в тех случаях, когда между усредняемыми признаками имеется мультипликативная зависимость.

Средняя хронологическая используется в тех случаях, когда рассчитывается средний уровень динамических рядов.

Медианой в статистике называется значение признака у той единицы совокупности которая расположена в середине упорядоченного ряда.

В вариационном ряду медианой является значение признака у той единицы совокупности, которая делит вариационный ряд по сумме частот на две равные части. У половины единиц значение признака меньше медианы, а у другой половины — больше ее.

Медиана для интервального ряда определяется по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- сумма всех частот ряда распределения;

- сумма частот, накопленных до медианного интервала.

Модой в статистике называется наиболее часто встречающееся значение признака.

Применительно к вариационному ряду мода – тот вариант, который имеет наибольшую частоту, т. е. повторяется наибольшее число раз.

При определении моды в дискретном вариационном ряду не требуется никаких формул: модой будет тот вариант ряда, кото­рый имеет наибольшую частоту, т. е. чаще других повторяется.

В непрерывных вариационных рядах с равными интервалами мода определяется по следующей формуле:

где X мо - начало (нижняя граница) модального интервала, т. е. интервала, имеющего наибольшую частоту;

i_MO - величина модального интервала;

f_MO - частота модального интервала;

f_MO-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_MO+1 - частота интервала, следующего за модальным.

где Xмо - начало (нижняя граница) модального интервала, т. е. интервала, имеющего наибольшую частоту;

iMO - величина модального интервала;

fMO - частота модального интервала;

fMO-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

fMO+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Свойства моды и медианы:

1. Количество отклонений от моды меньше чем от какого либо другого числа.

2. Сумма отклонений от медианы меньше чем от какого либо другого числа.

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Вариация порождается комплексом условий, действующих на совокупность и ее единицы.

Различают вариацию во времени и пространстве.

Вариация во времени – изменение значений признака с течением времени.

Вариация в пространстве – изменение значений признака на отдельных территориях.

Средняя величина представляет обобщающую характеристику варьирующего признака. Однако, характеризуя вариационный ряд в целом, средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака. Они могут быть сосредоточены вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя не показывает также характер вариации признака и степень его колеблемости. т.о средняя это своего рода «центр тяжести» вокруг которого происходит колебание значений признака.

Выделяют три группы показателей вариации:

1. Абсолютные показатели вариации:

Размах вариации.

R = Xmax – Xmin

где, Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение признака.

2. Средние показатели вариации.

Эти показатели рассчитываются в двух формах: простой и взвешенной.

Простая форма применяется для несгруппированных данных, взвешенная - если данные сгруппированы.

Формы Виды	Простая	Взвешенная
1. Среднее линейное отклонение
2. Среднее квадратическое отклонение
3. Дисперсия

где - среднее значение признака;

х_i - индивидуальные значения осредняемого признака;

n - количество единиц совокупности;

f_i - частота индивидуальных значений признака;

∑f_i - общий объём совокупности.

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонение показывают на сколько единиц в среднем индивидуальные значения признака отклоняются от среднего. Квадратическое отклонение выше линейного, но точнее.

Дисперсия представляет собой сумму квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней. Данный показатель не имеет единиц измерения.

3. Показатели относительного рассеивания являются мерой вариации признака и позволяют сопоставлять степень вариации у различных совокупностей. Данные показатели находятся как отношение абсолютных или средних показателей вариации к среднему значению признака.

Коэффициент осцилляции рассчитывается как отношение размаха вариации к среднему значению признака (в процентах):

Коэффициент осцилляции рассчитывается как отношение размаха вариации к среднему значению признака (в процентах):

Относительное линейное отклонение находится как частное от деления среднего линейного отклонения на среднее значение признака (в процентах):

Коэффициент вариации является мерой типичности средней и находится по формуле:

Если значение коэффициента вариации не превышает 30%, средняя считается типичной для совокупности и ее можно применять в экономических расчетах.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: