Разрешающая способность

Разрешающая способность (разрешение) измерительной системы — это раз­мер шага, на который может быть настроена система, или шага, с которым на индикатор выводится результат действия системы. По определению, раз­решающая способность — это наименьший интервал х значения измеряе­мой величины х, который все еще вызывает изменение результата измере­ния у. Численно разрешающая способность R выражается в виде:

Рис. 2.30. Полный размах х_рр, действующее значение x и среднее значение от абсолютной величины |x|_avg сигнала синусоидальной формы.

R= .

Иногда речь идет о максимальном значении разрешения. Оно достигает­ся при максимальной величине х, которая может быть измерена с помощью этой системы без насыщения, искажений и перегрузки:

.

Разрешающая способность R имеет конечное значение для всех систем, в которых результат измерения не увеличивается непрерывно с ростом изме­ряемой величины х. Примером таких систем являются механическая изме­рительная система с люфтом и трением покоя, проволочный потенцио­метр, ступенчатый аттенюатор и цифровой индикатор; во всех этих случаях выходная величина у не растет непрерывно с увеличением входного воздей­ствия, а меняется малыми скачками у.

Если разрешение системы конечно, то результат измерений оказывается квантованным; при этом возникает ошибка квантования. Ошибки, являю­щиеся следствием квантованности результата измерения, можно разделить на ошибки усечения и ошибки округления. Ошибка усечения происходит в том случае, когда в системе не принимаются во внимание десятичные знаки справа от младшего указываемого десятичного разряда: остаток просто опус­кают. Обычно это имеет место в алфавитно-цифровых индикаторах, напри­мер, в цифровом вольтметре. Величина допускаемой при этом ошибки рав­на х/х, то есть отношению наименьшего возможного шага х к воспроиз­водимой на индикаторе величине х. Ошибка округления происходит в том случае, когда в наименьшем указываемом десятичном разряде учитывается остаток путем округления до ближайшего значения в этом разряде. При этом ошибка равна х / 2х, то есть половине наименьшего шага, деленной на индицируемое значение. Если при проведении нуль-измерения мы приме­ним эталон, который можно подстраивать только в ступенчатом режиме, и будем изменять задаваемую эталоном величину до тех пор, пока нуль-орган не покажет наименьший отсчет, то будет иметь место ошибка округления.

Нелинейность

В измерительной системе с независящей от частоты чувствительностью со­отношение между выходным сигналом у и входным сигналом х линейно, когда функция у =f(x) представляет собой прямую линию; такие системы с частотно-независимой чувствительностью, у которых f( х) = ах + b, называ­ют статическими системами. Для линейной частотно-зависимой системы соотношение между y(t) и x(t) задается линейным дифференциальным урав­нением. Это такое уравнение, в котором содержатся только члены первого порядка в отношении у и производных от у. Системы с частотно-зависимой чувствительностью называют динамическими системами. Если на вход линейной измерительной системы подать сумму двух синусоидальных сигна­лов

х = а sin ( t + ) и х = а sin ( t + ), то выходной сигнал также будет состоять из двух синусоидальных сигналов у = b sin( t + ) и у = b sin ( t + ) с теми же самыми частотами, что и во входном сигнале (изохронизм), но уже с другими мплитудами и фазами.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции) это означает, что в случае, когда входной сигнал х порождает на выходе сигнал у а входной сигнал х вызывает появление на выходе сигнала у линейная комбинация а х + b₂ х на входе приведет к возникновению на выходе сиг­нала а у + b у . Принцип суперпозиции применим только к тем составляю­щим сигнала на входе системы, которые обусловлены входными воздей­ствиями; возможные ошибки смещения здесь не принимаются во внимание.

Если сумма двух синусоидальных колебаний разных частот подана на вход нелинейной системы, то выходной сигнал будет содержать гармоники. Гармониками являются синусоидальные колебания с частотами n w , и k w ₂ соответственно, где n и к — целые числа. При п, к = 1 мы имеем дело с основными гармониками, а большим значениям пик соответствуют выс­шие гармоники n -го и k -го порядков. Кроме того, в выходном сигнале по­явятся также составляющие с суммарными и разностными частотами п ± к , где и п к. Помимо этого выходной сигнал может иметь также постоянную составляющую.

Раскладывая соотношение у =f(x) для статической нелинейной системы в ряд Тейлора, например, в точке х = 0, легко видеть, что

y=f(0)+xf’(0)+ f”(0)+….

Полагая

f(0)=0, f’(0)=c , f”(0)=c .

и т. д.

и

x(t)= х (t)+ х (t),

где х = а sin t

и х = а sin t,

получим:

y(t)= (а + а ) + с (а sin t+ а sin t)

- (а cos2 t+ а cos2 t)- { а а cos( + )t

- а а cos( - )t}+…

Степень нелинейности измерительной системы характеризуется нелиней­ными или гармоническими искажениями. Искажение такого рода измеряется путем подачи на вход измерительной системы одиночного синусоидального колебания. Коэффициент искажения, по определению, равен отношению действующего значения у_п п-й гармоники к действующему значению у ос­новной (первой) гармоники. Таким образом, коэффициент искажения, обус­ловленного п-й гармоникой, определяется как

(n>1).

Полный коэффициент искажений, обусловленных п — 1 гармониками (за исключением основной гармоники (п = 1)), равен

.

Это соотношение легко понять, приняв во внимание, что корень из сум­мы квадратов действующих значений гармоник представляет собой действу­ющее значение всех п — 1 гармоник:

.

Степень статической (частотно-независимой) нелинейности часто опре­деляют по-другому. Предположим, что в действительности соотношение между у и х задается функцией у = f(x), как показано на рис. 2.31. Лучшим линейным приближением кривой у = f(x), является прямая у = ах. В этом случае мерой нелинейности измерительной системы может служить макси­мальное значение выражения

в пределах всего динамического диапазона измерительной системы. Об определенной таким образом нелинейности говорят также, как о нелиней­ности с нулевым смещением.

Никакая измерительная система не является идеально линейной; она всегда линейна лишь приближенно (например, в малом интервале значений входного сигнала х). Сейчас мы кратко рассмотрим несколько видов нели­нейности, которые могут иметь место в практических измерительных систе­мах. Прежде всего речь пойдет о некоторых видах статической нелинейности.

- Насыщение и ограничение. Нелинейность такого рода характеризуется уменьшением дифференциальной чувствительности S с ростом входного сигнала х. Как показано на рис. 2.32, в случае ограничения такое ослабление наступает резко, а в случае насыщения — постепенно. Чтобы предотвратить выход измерительной системы из строя, когда она оказывается перегружен ной слишком большим входным сигналом,

Рис. 2.31. Статическая нелинейность.

Рис. 2.32. Примеры насыщения и ограничения в измерительной системе, (а) Нелинейные передаточные характеристики. (b) Сигнал y(t), возникающий на выходе системы под действием синусоидального входного сигнала x(t).

часто намеренно ограничивают размах выходного сигнала безопасными значениями.

— Гистерезис. Такая нелинейность вызывается различными кривыми на плоскости ху, выражающими связь между у и х при увеличении х и при уменьшении х (см. рис. 2.33). К гистерезису может привести, например, люфт в механической зубчатой передаче. Другой пример гистерезиса — это зави­симость магнитной индукции В от напряженности поля Н у ферромагнит­ного материала (кривая намагничивания).

— Мертвая зона. Этот вид нелинейности обычно возникает в том случае, когда существуют одна или большее число областей, в пределах которых величина выходного сигнала у не зависит от входного сигнала х (см. рис. 2.34). Такая нелинейность может быть вызвана трением покоя. Объект (например, стрелка) не будет двигаться до тех пор, пока действующая сила не превысит трения покоя.

Помимо рассмотренных видов нелинейности, может встретиться также какая-либо их комбинация. Кроме того, существуют динамические (частот­но-зависимые) виды нелинейности. Проявлением такой нелинейности яв­ляются эффекты, связанные с существованием максимальной скорости на­растания напряжения; этот пример мы проиллюстрируем с помощью ос­циллограмм. Если максимальный ток, который может отдавать усилитель сигнала, подаваемого на отклоняющие пластины осциллографа,

Рис. 2.33. (а) Гистерезис и (b) результирующий выходной сигнал y(t), являю­щийся откликом на синусоидальный сигнал x(t) на входе.

Рис. 2.34. (а) Мертвая зона в передаточной характеристике, системы. (b) Вы­ходной отклик y(t) на синусоидальный входной сигнал x (t).

равен I , а емкость отклоняющих пластин равна С, то время нарастания или спада на осциллограмме не может быть меньше определенной минимальной величи­ны. Это значение определяется максимальной скоростью

.

с которой может изменяться напряжение V между пластинами, которо­му пропорционально отклонение луча. Таким образом, скорость перемеще­ния луча по экрану пропорциональна производной от V по времени. Как только частота или амплитуда входного сигнала становятся настолько боль­шими, что максимальное значение d V / dt оказывается превышенным, изоб­ражение искажается и колебание приобретает треугольную форму, как по­казано на рис. 2.35.

Рис. 2.35. Искажения вследствие существования максимальной скорости нара­стания: x(t)- входной сигнал, y(t)- выходной сигнал.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: