ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Решение задачи 5.2.= = Несмотря на то, что скобки мы раскрыли похожим образом, дальше будет существенное отличие, т.к. свойства векторного произведения совсем другие, чем скалярного. Так, , но . Кроме того, чтобы объединить в одно слагаемое, здесь надо сначала у одной из них сменить знак. = = = . Модуль векторного произведения и это площадь параллелограмма, где эти векторы являются сторонами, поэтому далее можно продолжить так: = = = 50. Ответ. 50.
Задача 6. Решить систему уравнений Решение. Построим расширенную матрицу системы и преобразуем её. чтобы обнулились коэффициенты ниже левого верхнего угла, то есть чтобы исчезла переменная из всех уравнений кроме первого, надо: а) из 2-й строки вычесть 1-ю; б) из 3-й строки вычест удвоенную 1-ю. = Теперь, чтобы обнулить ниже чем , нужно к 3-й строке просто прибавить 2-ю, так как знаки там противоположны. При этом структуру из нулей, которые уже получились слева, мы на последующем шаге всё равно никак не испортим, ведь там к 0 будет прибавляться 0 либо вычитаться 0, то есть ступенчатая структура там уже всё равно будет сохраняться. = Когда в основной матрице уже получена треугольная структура, снова перепишем в виде системы В первом уравнении 3 неизвестных, а в каждом следующем всё меньше и меньше, а в последнем вообще только одна неизвестная. Именно этой цели мы и хотели добиться, приводя к треугольному виду: из последнего уравнения можно теперь сразу выразить . Затем с этой информацией мы поднимаемся в предпоследнее уравнение, где две неизвестных, впрочем, одна из них уже известна. . А теперь уже две последних неизвестных стали известны, и с этой информацией поднимаемся в 1-е уравнение, подставляя туда и . Итак, . Ответ. =2, =1, =1. Можно ответ записать и в виде вектора: .
Задача 7. Найти собственные числа и векторы . Решение. сводится к уравнению , корни которого . Найдём собственные векторы. . Вычтем 2 по диагонали, получим систему уравнений то есть . Из этих уравнений следует, что , про нет информации, это свободная переменная. ФСР: вектор (1,0,0).
. Вычтем 3 по диагонали, получим систему уравнений то есть . Из этих уравнений следует , ФСР: вектор (1,1,0). Базисный минор здесь во 2 и 3 столбцах, так что могло считаться свободной переменной.
. Вычтем 4 по диагонали, получим систему уравнений то есть . Базисный минор можно найти, например, в левом верхнем углу, тогда считаем свободной переменной и все остальные выразим именно через неё. Из 2-го , а затем из 1-го , то есть . ФСР: вектор (1,1,1). Ответ. Собст. число собст. вектор (1,0,0), собст. число собст. вектор (1,1,0) собст. число собст. вектор (1,1,1).
Задача 8.1. Построить уравнение прямой (на плоскости) по точке с координатами (1,2) и перпендикуляру (3,5). Решение. Возьмём произвольную точку с координатами . Если она принадлежит этой прямой, то вектор , координаты которого равны перпендикулярен вектору . Таким образом, скалярное произведение векторов и (3,5) есть 0. Тогда , приводя подобные, получаем . Ответ. .
Задача 8.2. Построить уравнение прямой (на плоскости) по точке с координатами (1,2) и направляющему l (3,5). Решение. Возьмём произвольную точку с координатами . Если она принадлежит этой прямой, то вектор а именно коллинеарен вектору l (3,5). Таким образом, их координаты пропорциональны: . Это уравнение называется каноническим. Приведём к обычному уравнению, для этого домножим на константы. , то есть что сводится к . Замечание. Нормаль к полученной прямой - вектор . Вообще говоря, мы могли бы сразу перейти от направляющего вектора к нормали (поменять координаты и у одной из них сменить знак), а потом уже строить уравнение по нормали, как в прошлом методе. Ответ. .
Задача 8.3. Построить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1,2,3) перпендикулярно вектору (1,4,2). Решение. Для произвольной точки в плоскости, вектор с координатами ортогонален . Их скалярное произведение 0. Тогда , т.е. . Ответ. Уравнение плоскости . Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|