Контрольная работа № 4.

1. Функциональные ряды.

2. Ряды Тейлора

3. Ряды Лорана.

4. Ряды Фурье.

Вариант для самостоятельного решения:

1. Найти область сходимости ряда .

2. Функцию разложить в ряд Тейлора по степеням .

3. Функцию разложить в ряд Лорана по степеням .

4. Найти ряд Фурье для на интервале .

Аналогичные задачи из практических занятий:

Задача 1.1. Найти область сходимости ряда .

Решение. По признаку Даламбера, = , тогда , что равносильно выполнению одновременно двух неравенств: .

Для правого неравенства, получаем , корни , оно верно для .

Для левого неравенства, , но это выполняется на всей числовой прямой, т.к. корней нет, а ветви этой параболы направлены вверх. Верно для . Пересечением этих двух множеств является интервал .

Также легко заметить, что в граничных точках ряд принимает вид

, расходится.

Ответ. абсолютно сходится в .

Задача 1.2. Найти область сходимости ряда .

Решение. По признаку Коши, = , т.е. , что равносильно или . Для граничных точек получаются числовые ряды, для которых нет сходимости (по необходимому признаку).

Ответ. абсолютно сходится в .

Задача 2. Разложить в ряд Тейлора: по степеням .

Решение. Разложение на простейшие сначала производится точно так же, как в задаче 8: . Но здесь центр круга не в 0, а в точке потому что . Точки разрыва и . Поэтому расстояние до ближайшей точки разрыва равно 2, и круг здесь имеет вид . Он показан на чертеже:

В выражении сначала надо прибавить и отнять константы, чтобы в знаменателе явно был выделен блок .

= теперь скобку вида мы не будем раскрывать вплоть до ответа, можно даже переобозначить её через (но не обязательно).

Выносим за скобку константу 2 в каждой из дробей.

. В круге получается, что верно то есть там как раз получается такое , как и надо для сходящейся геометрической прогрессии. Тогда далее

= .

Здесь в 2 частях индексы меняются синхронно, т.е. можно объединить

.

Ответ. .

Задача 3. Разложить в ряд Лорана по степеням z

Решение. Точки разрыва и , центр кольца в 0, значит, кольцо определяется условием .

= = =

. Можно ещё произвести сдвиг индекса в главной части, чтобы не был индекс 0 в двух частях сразу:

Ответ. .

Задача 4. Разложить в тригонометрический ряд Фурье на интервале (-1,1).

Решение. Заметим, что функция нечётная. То есть, f это сумма нечётной и константы. Таким образом, коэффициенты здесь тоже окажутся равны 0. Надо вычислить и .

= = , .

. Вычисляем интеграл по частям.

, , , . Тогда

=

= = = = .

Ответ. Ряд Фурье: .

Список литературы

I. Пособия кафедры.

1. Л.И.Магазинников, А.Л. Магазинникова. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебное пособие http://edu.tusur.ru/publications/2244

2. Л.И.Магазинников, А.Л.Магазинников. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие http://edu.tusur.ru/publications/2246

3. А.А.Ельцов, Т.А.Ельцова. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения http://edu.tusur.ru/publications/2259

4. Л.И.Магазинников. Высшая математика III. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования

http://edu.tusur.ru/publications/2258

II. Учебные пособия для 446 групп.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: