ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Контрольная работа № 1.1. Подведение под знак дифференциала, преобразования. 2. Интегрирование по частям. 3. Интегрирование рациональных дробей. 4. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических функций. Варианты для самостоятельного решения:
Вариант 1. Найти неопределённые интегралы: 1. 2. 3. 4.
Вариант 2. Найти неопределённые интегралы: 1. 2). 3. 4.
Аналогичные задачи из практических занятий: Задача 1.1. Вычислить . Решение. = = = = = = . Ответ. . Задача 1.2. Вычислить . Решение. Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду . Но при D < 0 можно выделить полный квадрат: = = . С помощью замены сводится к интегралу: = , и далее с помощью обратной замены получаем ответ: . Ответ. . Задача 2.1. Вычислить . Решение. Пусть , так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу: Тогда = = . Ответ. .
Задача 2.2. Вычислить . Решение. = = . Ответ. . Задача 3. Вычислить интеграл . Решение. Как видим, здесь корень 1 имеет кратность 2. Разложение на простейшие дроби нельзя проводить так, как будто бы здесь три независимых множителя , , , т.е. , иначе получится противоречие, ведь общий знаменатель будет содержать всего лишь 1-ю степень но никак не вторую. Надо степени знаменателя учитывать по возрастающей, до кратности корня, а именно, так: . Приведём к общему знаменателю: . Числитель этой дроби равен числителю исходной, той, которая была в интеграле: . , система: . Построим расширенную матрицу и решим систему уравнений: . Система приведена к виду: Тогда , , . И теперь интеграл распадается на сумму трёх интегралов: . В 1 и 3 слагаемых - как раньше, а вот во 2-м логарифм в ответе не получится, ведь тут уже 2-я а не 1-я степень в знаменателе. Полезно вспомнить, что . То есть, интеграл от -2 степени будет содержать -1 степень, и меняется знак. Ответ. . Задача 4.1. Вычислить интеграл . Решение. Здесь есть корни порядка 2 и 3. Наименьшее общее кратное, НОК(2,3) = 6. Поэтому замена . При этом, , , , , . Тогда = = = = . Сделаем обратную замену и получим ответ:
Ответ. .
Задача 4.2. Вычислить интеграл . Решение. Здесь тоже суммарная степень чётная, замена . . , . = = = = = здесь мы воспользовались формулой . = . После обратной замены получаем ответ: Ответ. . Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|