Контрольная работа № 2.

1. Определённый интеграл и его приложения.

2. Несобственный интеграл.

3. Двойной интеграл.

4. Дифф. уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными.

Варианты для самостоятельного решения:

Вариант 1.

1.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

, , .

2. Найти несобственный интеграл .

3. Найти двойной интеграл , где - треугольник с вершинами (0,0), (1,1), (1,3).

4. Решить дифф. уравнение .

Вариант 2.

1.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

, , .

2. Найти несобственный интеграл .

3. Вычислить в полярных координатах интеграл от функции по 1-й четверти круга радиуса 1.

4. Дифф. уравнение 1 порядка .

Аналогичные задачи из практических занятий:

Задача 1.1. Вычислить

Решение. =

здесь мы можем заменить на , но тогда нужно сделать пересчёт верхнего и нижнего пределов. Если то , т.е. .

= = = = .

А можно было сначала вычислять интеграл как неопределённый, тогда надо было бы вернуться к исходной переменной (то есть сделать обратную замену), но пределы можно не пересчитывать.

= = =

= = = .

Ответ. .

Задача 1.2. Найти площадь области, ограниченной линиями

Решение.

= = = = .

Ответ. .

Задача 2. Найти несобственный интеграл .

Решение. = = =

= = .

Здесь под символом понимается предел .

Ответ. .

Задача 3.1. Вычислить интеграл по треугольнику D, вершины которого: (0,0),(1,0),(0,1).

Решение. Строение треугольника понятно (см. чертёж).

Наклонная линия задаётся уравнением .

Вычисление: = =

= = =

= . Ответ. .

Задача 3.2. Вычислить , где D - четверть круга радиуса 1 (в первой координатной четверти).

Решение. Заменим , , а также умножим на якобиан .

= =

=

Дальше остаётся интеграл от одной переменной, там можно применять обычный способ, подведение под знак дифференциала.

= = = = = .

Ответ. .

Задача 4. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ. .

Проверка. Если , то , действительно, производная имеет лишний множитель по сравнению с исходной функцией, и подходит в качестве решения уравнения .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: