Принцип Гюйгенса-Френеля.

Как уже говорилось, проникновение световых волн в область геометрической тени качественно может быть объяснено принципом Гюйгенса. Однако этот принцип не дает сведений об амплитуде. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждый элемент волновой поверхности S служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS.

,

где k –волновое число ω/V, коэффициент, зависящий от угла φ между

нормалью к площадке dS и направлением от dS к точке Р. Е – амплитуда колебаний в точке Р. Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля. k –максимален при φ=0, k =0 при φ=π/2. Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием r от источника ~1/r. Из фотометрии известно, что интенсивность света I~1/r², а т.к. I~а₀, то а₀~1/r.

Зоны Френеля

Френель показал, что в симметричных случаях, нахождение амплитуды результирующего колебания ожжет быть осуществлено простым

алгебраическим или геометрическим суммированием, а не интегрированием.

Для этого волновая поверхность (световой пучок) разбивается на части, которые при интерференции взаимно гасят друг друга. Тогда расстояние от краев каждой зоны до точки наблюдения Р должны отличаться на λ/2. Обладающие таким свойством зоны называются зонами Френеля. Расстояние до точки Р от внешнего края m-ой зоны равно b_m=b+m·λ/2.

Можно показать, что при не слишком больших m площади зон Френеля приблизительно одинаковы. Радиус m-ой зоны равен: . Если задать a=b=1м и λ=0,5мкм, то радиус первой зоны (m=1) r₁=0,5 мм. Радиус последующих зон найти как r_m= r₁√m. Итак, r_m~√m, т.е. растет и b_m (а это не что иное, как расстояние r в выражении Гюйгенса-Френеля). Угол φ также увеличивается с номером зоны m, в результате чего А_m – амплитуда колебания, возбуждаемого m-ой зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом m (А₁>А₂>А_m). Амплитуда А результирующего колебания в точке Р равна: А=А₁-А₂+ А₃-А₄+…=А₁/2+(А₁/2- А₂ +А₃/2)+(А₃/2- А₄ +А₅/2)+…

Так как А монотонно убывает с m, то , тогда выражения в скобках равны нулю и А=А₁/2. Таким образом, амплитуда, создаваемая в точке Р всей сферической волновой поверхностью пропорциональна ½ амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной. Если взять экран с отверстием, оставляющим открытым только центральную зону Френеля, амплитуда в точке Р будет равна А, т.е в 2 раза больше, чем от всей волны. Соответственно интенсивность света I~А² будет в 4 раза выше. Т.о. это алгебраическое сложение амплитуд.

Эту же задачу можно решить графическим сложением амплитуд (векторов амплитуд). Разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны, подобные зонам Френеля, но меньшие по ширине так, чтобы разность хода

от краев зоны до точки Р составляло одинаковую для всех зон малую долю λ. Так как амплитуда А_m убывает, то получается не замкнутая фигура, а спираль. Если бы величина А_m не убывала, то был бы ноль. Если ширину кольцевых зон устремить к нулю, то в пределе получим спираль, закрученную к точке С. Колебание, возбуждаемое в точке Р всей волновой поверхностью, изображается вектором ОС. Амплитуда равна ½ амплитуды.

Участок 0-1 первая зона Френеля. Вектор 1-2 изображает колебание, возбуждаемое второй зоной Френеля. ОС –колебание, возбуждаемое в точке Р, всей волновой поверхностью.

Колебания от четных и нечетных зон Френеля ослабляют друг друга (в противофазе). Если поставить на пути волны пластинку, которая перекрывала бы все четные (или нечетные) зоны, то интенсивность света в точке Р резко возрастает. Такая пластинка называется амплитудной зонной пластинкой. Еще большего (в 2 раза по амплитуде или в 4 раза по интенсивности) эффекта можно достичь не перекрывая четные зоны, а изменяя фазу их колебаний на π. Этот эффект достигается с помощью фазовой зонной пластики – прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих четным или нечетным зонам, отличается на определенным образом подобранную величину.

Дифракция Френеля

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: