Одноэлектронное уравнение Шрёдингера

Уравнения Хартри – Фока(4.2), а также уравнение(5.1) с кристаллическим потенциалом (5.3) называют одноэлектронным уравнением Шрёдингера. Поскольку оно получено с помощью волновых функций приписываемых состяниям отдельного электрона. Так как кристаллический потенциал в этом приближении состоит из двух составляющих кулоновской и обменной, причём, как правило, обменный потенциал используется в приближённой форме, то для получения полного потенциала (5.3) необходимо только найти кулоновский потенциал. Кулоновский потенциал, как хорошо известно, находится спомощью решения уравнения Пуассона по заданному зарядовому распределению в элементарной ячейке кристалла. Запишем уравнение Пуассона

, (7.1)

Где – распределение зарядовой плотности в ячейне кристалла. Его обычно записывают для одноатомных кристаллов в таком виде

. (7.2)

Здесь – заряд ядра, – распределение электронного заряда, – дельта функция Дирака описывает распределение точечного заряда ядра. Для решения уравнения Пуассона необходимо наложить периодические граничные условия, которые подобны условим Блоха для волновой функции:т.е. кулоновский потенциал должен быть периодическим с периодом решётки вместе с непрерывными нормальными производными при переходе через гранцу ячейки. Кроме того, должно выполняться условие электрической нейтральности ячейки

. (7.3)

Таким образом, на основании теоремы Блоха и периодичности кристаллического потенциала, как собственные волновые функции гамильтониана, так и его собственные значения зависят отволнового вектора , т.е. должны одноэлектронное уравнение Шрёдингера переписать ввиде

.(7.4)

Отсюда следует такой вывод: так как волнолвой вектор меняется квази непрерывным образом в зоне Бриллюэна, собственные значения гамильтониана являются квазидискретными функциями этого вектора, т.е. как говорят, они образуют зонный энергетичский спектр собственных значений.

Поскольку в приближении Слэтера (4.7), да в других подобных приближенмях, обменный потенциал зависит от распределения электронной плотности в кристалле, и распределением которой определяется и кулоновский потенциал, задачу вычисления энергетической зонной структуры кристаллов необходимо решать самосгласованным образом. Схема самосогласованного расчёта выглядит так. Вначале тем или иным способом строится электронная плотность в кристалле, по ней с помощью решения уравнения Пуассона определяется кулоновский потенциал. Обменный потенциал строится либо в приближении Слэтера, либо в каком – то другом. Полученный таким способом кристаллический потенциал подставляется в уравнение (7.4) для нахождения функций , которые затем используются для построения новой электронной плотности и так до достижения самосогласования, т.е. до достижения результата, пока полученное решение не будет отличаться от предыдущего с заданной степенью точности.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: