Плотность состояний. Прежде чем ввести понятие плотности состояний коротко остановимся на физической природе возникновения энергетических зон в кристалле

Прежде чем ввести понятие плотности состояний коротко остановимся на физической природе возникновения энергетических зон в кристалле. В случае отдельного изолированного атома его электроны имеют дискретный энергетический спектр с энергиями , где n и l – главное и орбитальное квантовые числа, определяющие энергию электрона в атоме. Кристалл же состоит из N одинаковых повторяющихся в определённом порядке атомов. Тогда этот уровень можно рассматривать N – кратно вырожденным. Такое вырождение называют перестановочным. Если теперь учесть взамодействие атомов при их конденсации в твёрдое тело каждый из уровней получит некоторую добавочную энергию и вырождение снимется, т.е. этот энергетический уровень и образует энергетическую зону. Поскольку эти добавки очень малы, уровни в этой зоне будут расположены достаточно близко друг к другу, и, кроме того, так как каждый атом получает свою добавку – уровни в зоне будут рсположены неравномерно.

-*

Таким образом, каждому энергнтическому уровню изолированного атома в кристалле соответствкет з она разрешённых энергий: уровню 1 s – зона 1 s, уровню 2 p –зона 2 p и т.д. Зоны разрешённых энергий разделены областями запрещённых энергий – запрещёнными зонами . С увеличением энергии электрона в атоме ширина разрешённых зон увеличивается, а запрещённых уменьшается. Каждая энергетическая зона содержит ограниченное число уровней. В соответствии с принципом Паули на каждом уровне может разместиться не более двух электронов. При ограниченном числе электронов, содержащихся в твёрдом теле, заполнеными окажутся лишь несколько наиболее низких энернегетических зон.

По характеру заполнения зон электронами все тела можно разделить на две большие группы. К первой группе относятся тела, у которых над целиком заполнеными зонами располагается зона, заполненая лишь частично (см. рис.а). Такая зона возникает в том случае, когда атомный уровень, из котоого она образуется, заполнен в атоме не полностью, как это имеет место, например, у щелочных металлов. Частично заполненная зона может возникать также вследствие наложения заполненных зон на пустые зоны или частично заполненные, т.е. имеет место, как говорят, перекрытие зон. Такая картина наблюдается у бериллия и щёлочноземельных элементов (рис.б). Наличие зон, заполненных частично, присуще металлам.

Ко второй группе относятся тела, у которых над целиком заполненными зонами располагаются пустые зоны (рис. в, г). Типичными примерами таких тел являются химические элементы IV группы таблицы Менделеева – углерод в модификации алмаза, кремний, германий, а также некоторые химические соединения – окислы металлов, нитриды, карбиды и т.д. Наибольший интерес представляют две соседние зоны, одна из которых является высшей из заполненных – она называется валентной зоной, и её максимальная энергия обозначается через , а другая наинизшая из пустых – она называется зоной проводимости, и ее минимальная энергия обозначается так . Разность называется шириной запрещённой зоны или энергетической щелью . Характерная энергия, которая отделяет заполненные уровни от пустых, как мы уже отмечали, называется энергией Ферми . В полупроводниках и изоляторах валентная зона оказывается совершенно заполненной, а зона проводимости – совершенно пустой. Ширина запрещённой зоны полупроводников обычно порядка 1 эВ или меьше (рис. г), в то воемя как ширина запрещённой зоны изоляторов (рис. в) порядка несколько электрон вольт. Например, для кремния , а для двуокиси кремния .

Неравномерность расположения энергетических уровней взоне описывается функцией плотности состояний . Эта функция определяет число состояний (или число энергетических уровней), приходящихся на единичный интервал энергии. Найдём эту функцию для свободных электронов. Состояния в обратном пространстве нумеруются волновым вектором и распределены с постоянной плотностью , где N – число ячеек кристалла, а – объём элементарной ячейки. Тогда число состояний в объёме шарового слоя толщиной от k до k+dk, будет равно

. (9.1)

Перейдём в этом выражении к энергетической переменой. Для невзаимодействующих друг с другом частиц имеем

.

Найдём отсюда k и dk,и, подставляя их в (9.1), получим

. (9.2)

Это и есть число состояний электрона в интервале энергий dE, заключённом между E и E+dE. Поделив правую и левую части (9.2) на dE, получим плотность состояний , выражающую число состояний свободнх электронов, приходящихся на единичный интервал энергии:

.(9.3)

Так как каждое состояние может по принципу Паули заполняться двумя электронами с противоположно направленными спинами, то выражение (9.3) следует умножить на 2. Теперь легко получить значение энергии Ферми, восползовавшись соотношением

. (9.4)

Элементарные вычисления для энергии Ферми приводят ктакому результату

. (9.5)

где – число электронов вединице объёма кристалла (концентрация электронов). Это значение энергии справедливо при абсолютном нуле температуры, так как в этом случае функция распределения Ферми – Дирака f=1. В противном случае в интеграл (9.4) следует подставить выражение (8.6). В приближении свободных электронов поверхность Ферми, очевидно, является сферой радиуса в обратном пространстве. Опираясь на закон дисперсии (7.5), легко получить для радиуса поверхности Ферми в первой зоне Бриллюэна такое выражение

. (9.6)

Можно определить скорость Ферми и температуру Ферми , где – постоянная Больцмана. Зная распределение электронов по энергиям, можно найти среднюю энергию электронов при абсолютном нуле температуры

. (9.7)

Среднеквадратичная скорость равна

(9.8)

Температура Ферми показывает, при какой температуре обычный невырожденный газ с массой молекул, равной массе электрона, имел бы энергию теплового движения, равную энергии Ферми. Из таблицы следует, что ни один металл при таких температурах не может существовать в конденсированном состоянии. Фактически эта температура показывает границу вырождения (см. § далее).

Ниже представлена таблица результатов расчёта некоторых величин, обсуждавшихся выше, их называют фермиевскими

Таблицу эту можно расширить, добавив сюда ещё ряд щелочных и благордных металлов, называемых простыми. Более точные расчёты, а также экспериментальные данные показывают, что приближение свободных электронов оказывается с очень высокой степенью точности применимым для изучения электронных свойств этих материалов. Дело в том, что в конденсированных средах движение электронов сильно скоррелировано. Под корреляцией в движении электронов понимается следующее. При записи уравнения Шрёдингера (4.8) и при расчёте энергии электронов следует принимать во внимание кулоновское взаимодействие их друг с другом. То есть, как бы предполагается, что облако электронов проводимости, в котором движется данный электрон, почти однородно во всём пространстве, кроме областей вблизи центров ионов, где его неоднородность учитывалась с помощью метода Хартри – Фока. Вследствие чего на движение электрона влияет дишь некоторое среднее поле и поэтому можно пользоваться одноэлектронными функциями. Однако это не так. Электронное облако, хотя и однородное в среднем, претерпевает флуктуации плотности. Если два электрона очень близко подходят друг к другу, кулоноская электростатическая сила между ними, пропорциональная , становится очень большой и стремится оттолкнуть их друг от друга. Следовательно, между положениями электронов существует корреляция; электрон расположенный вточке , стремится оттолкнуть остальные электроны от этой точки, в гораздо большей степени, чем при “размазанной плотности заряда . Это приводит к появлению дополнительного вклада в полную энергию системы электронов в металле, называемого корреляционной энергией. Его влияние на зонную структуру учитывается приближённо, введением в потециал дополнительного члена. Таким образом, в корректно построенном кристаллическом потенциале, кроме всех прочих вкладов должны быть учтено обменно – корреляционное взаимодействие. Отсюда, на первый взгляд, можно сделать вывод о невозможности описания такой системы в приближении независимости двух частиц. И здесь возникает вопрос: почему столь простой путь решения невероятно трудной задачи твёрдого тела приводит к успеху? В настоящее время существует два объяснения этого феномена. Первое, используемый – может быть, весьма грубый количественно – метод аппроксимации всё же принимает во внимание наиболее характерные и важные свойства системы. К числу последних, относятся, прежде всего, свойства симметрии и вытекающие из них законы сохранения.

Второе, твёрдое тело – система сильно взаимодействующих частиц, и применение аппарата квантовой механики к такой системе частиц привело физиков к концепции квазичастиц. Осмысление свойств этих частиц призошло в теории Ферми – жидкости Ландау. Оказывается, энергию возбуждённого состояния кристалла , т.е. состояния вблизи основного можно представить в виде суммы:

,

где – энергия элеметарных возбуждений, а каждое такое возбуждение по своим свойствам похоже на квантовую частицу. Поэтому элементарное возбуждение кристалла называют квазичастицей, а их совокупность называют газом квазичастиц. Поэтому выражение для энергии основного состояния можно теперь записать в таком виде

,

где под знаком суммы стоит энергия отдельного элементарного возбуждения. Эта формула позволяет считать совокупность элементарных возбуждений как идеальный газ. Как и настоящие частицы квазичастицы могут быть фермионами и бозонами. Но мы знаем, что под идеальным газом понимается система из невзаимодействующих частиц. Однако выше было показано, что система электронов является сильно взаимодействующей системой. То налицо имеется противоречие между рассмотренной теорией свободных электронов, которая для фермиевских характеристик даёт удовлетворительное совпадение результатов теории с экспериментом. Это противоречие разрешил Ландау, заключив, что представление о независимых электронах нельзя считать правильным. Однако, это приближение и все рассуждения, связанные с ним остаются справедливыми, если в первом приближении считать независимыми не электроны, а что-то другое. Это другое Ландау и назвал квазичастицами или квазиэлектронами. Если квазичастицы подчиняются принципу запрета Паули, то приведённые рассуждения справедливы для них в той же мере, как и для независимых электронов. В заключение этих рассуждений отметим следующее: под квазичастицей следует понимать некую частицу, которая приняла на себя всё взаимодействие реальных частиц и поэтому такую систему их можно рассматривать как идеальный газ. С этой точки зрения масса квазичастиц уже не будет совпадать с массой реальных частиц. Для описания инертных свойств квазичастиц вводится понятие эффективной массы. Её рассмотрению будет посвящён следующий параграф.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: