Примеры решения задач 1 страница

Глава III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

1. Электрическое поле создаётся тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда t = 1×10^-10 Кл/м. Определить поток вектора напряжённости N через цилиндрическую поверхность длиной l = 2 м, ось которой совпадает с нитью.

торой линии, по некоторой поверхности или по некоторому объёму вводится понятие о плотности зарядов. Если электрические заряды непрерывно распределены вдоль линии, то вводится линейная плотность зарядов t:

,

где dq – заряд малого участка линии длиной dl.

По условию данной задачи бесконечно длинная нить заряжена с одинаковой линейной плотностью заряда t, значит, электрические заряды непрерывно распределены вдоль этой нити. Следовательно, заряд малого участка dl данной нити равен

.

Рассмотрим данную нить.

Согласно принципу суперпозиции напряжённость электростатического поля, создаваемого непрерывно распределёнными вдоль нити зарядами, равна

,

где ‑ напряжённость электростатического поля, создаваемого малым зарядом dq, а интегрирование проводится по всем непрерывно распределённым вдоль первой нити зарядам. Малый заряд dq можно считать точечным электрическим зарядом. Следовательно,

e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м – электрическая постоянная,

e – относительная диэлектрическая проницаемость среды; для вакуума e = 1.

Поток напряжённости электрического поля N сквозь поверхность S равен алгебраической сумме потоков сквозь все малые участки этой поверхности:

,

где ‑ вектор напряжённости электрического поля в точках площадки dS,

‑ единичный вектор, нормальный к площадке dS,

‑ вектор площадки,

‑ проекция вектора на направление вектора ,

‑ площадь проекции элемента dS поверхности на плоскость, перпендикулярную вектору .

При этом все векторы нормалей к площадкам dS должны быть направлены в одну и ту же сторону относительно поверхности S. Например, в случае замкнутой поверхности S (см. рис.) все векторы нормалей должны быть либо внешними, либо внутренними.

Так как по условию задачи необходимо определить поток вектора напряжённости N в вакууме через замкнутую поверхность, то воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса: поток напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведённую в поле, пропорционален алгебраической сумме q_охв. электрических зарядов, охватываемых поверхностью:

,

где все векторы направлены вдоль внешних нормалей к замкнутой поверхности интегрирования S, которую часто называют гауссовой поверхностью.

Поскольку длина цилиндрической поверхности равна l, то алгебраическая сумма q_охв. электрических зарядов, охватываемых данной поверхностью, равна

.

Таким образом, поток вектора напряжённости N через цилиндрическую поверхность длиной l, ось которой совпадает с нитью, равен

.

.

Ответ: .

2. В вершинах квадрата со стороной a = 4 см расположены точечные заряды q = 4,4 нКл. Определить работу перемещения заряда q₀ = 2,2 нКл из центра квадрата в середину одной из его сторон.

рата. Тогда работа по перемещению заряда q₀ в электрическом поле

A = q₀ (j_O - j_C),

где j_O – потенциал поля в точке O,

j_C – потенциал поля в точке C.

Потенциал в центре квадрата O равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности:

j_O = j₁ + j₂ + j₃ + j₄,

где j₁, j₂, j₃, j₄ – потенциалы, создаваемые 1 -м, 2 -м, 3 -м, 4 -м зарядами (см. рис.) соответственно в точке O.

Поскольку потенциал поля в точке, удалённой на расстояние r от точечного электрического заряда q, равен

,

а все данные четыре заряда равноудалены от точки O на расстояние

,

то

.

Здесь e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м – электрическая постоянная,

e – относительная диэлектрическая проницаемость среды; для вакуума e = 1.

Следовательно,

.

Аналогично потенциал в середине C одной из сторон данного квадрата равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности:

j_C = j₁^/ + j₂^/ + j₃^/ + j₄^/,

где j₁^/, j₂^/, j₃^/, j₄^/ – потенциалы, создаваемые 1 -м, 2 -м, 3 -м, 4 -м зарядами (см. рис.) соответственно в точке C.

Потенциалы поля, создаваемого 1 -м и 2 -м зарядами в точке C, удалённой на расстояние

от точечных электрических зарядов q₁ и q₂, равны

.

Потенциалы поля, создаваемого 3 -м и 4 -м зарядами в точке C, удалённой на расстояние

от точечных электрических зарядов q₃ и q₄, равны

.

Следовательно,

.

Значит,

.

.

Ответ: .

3. Сколько тепла выделится в спирали с сопротивлением R = 75 Ом при прохождении через неё количества электричества q = 100 Кл, если ток в спирали равномерно убывает до нуля в течение Dt = 50 с.

,

где U = I R – напряжение на проводнике.

Силой тока, или просто током, называется скалярная величина, равная отношению заряда dq, переносимого сквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени, к величине dt этого промежутка:

.

Подставляя это равенство в , получим

.

Переходя от бесконечно малого промежутка времени dt к конечному интервалу Dt и от бесконечно малого заряда dq к конечному Dq, получим выражения:

а) для силы тока

,

откуда

,

где ‑ начальное значение силы тока в спирали,

‑ конечное значение силы тока в спирали;

б) для количества теплоты Q (перешли от d Q к Q), выделяющейся в проводнике (спирали) за время Dt,

.

Так как (см. выше), то

.

.

Ответ: .

4. Между точками A и B цепи поддерживают напряжение U = 20 В. Найти ток и его направление в участке CD, если R = 5 Ом.

участка цепи

I₀R_AB = U

определим ток I₀:

,

где R_AB – сопротивление между точками A и B,

U ‑ напряжение между точками A и B цепи.

Резисторы 1 и 3 соединены параллельно, а общее сопротивление R параллельно соединённых проводников связано с сопротивлениями R_i этих проводников соотношением

,

где n – количество параллельно соединённых проводников.

Значит, общее сопротивление R_ACD участка цепи ACD находим из соотношения

,

где R₁ и R₃ – сопротивления резисторов 1 и 3 соответственно.

.

По условию задачи R₁ = R, R₃ = 2R.

Следовательно,

.

Аналогично резисторы 2 и 4 соединены параллельно.

Значит, общее сопротивление R_CDB участка цепи CDB

U₁ = U₃.

Значит, применяя к последнему равенству обобщённый закон Ома для участка цепи, содержащего резистор 1, и участка цепи, содержащего резистор 3, получим

I₁R₁ = I₃R₃.

По условию задачи R₁ = R, R₃ = 2R.

Следовательно,

I₁R = I₃×2 R,

I₁ = 2I₃.

Аналогично, поскольку резисторы 2 и 4 соединены параллельно, то

I₂R₂ = I₄R₄.

По условию задачи R₂ = 2R, R₄ = R.

Следовательно,

I₂×2R = I₄ R,

2I₂ = I₄.

Произведём расчёт сложных (разветвлённых) цепей. Расчёт сложных (разветвлённых) цепей состоит в отыскании токов в различных участках таких цепей.

По первому правилу Кирхгофа (правилу узлов): алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

,

где n – число проводников, сходящихся в узле,

I_i – ток в узле.

Положительными считаются токи, подходящие к узлу, отрицательными – токи, отходящие от узла.

Узлом называется точка разветвлённой цепи, в которой сходится более двух проводников.

Следовательно,

‑ для узла A^/ имеем

I₀ – I₁ – I₃ = 0.

Подставляя сюда вышенайденные I₁ = 2I₃ и , получим

, ;

‑ для узла B^/ имеем

I₂ + I₄ – I₀ = 0.

Подставляя сюда вышенайденные I₄ = 2I₂ и , получим

, ;

‑ для узла C имеем

I₁ – I – I₂ = 0

(считаем, что ток I направлен от узла C к узлу D).

Подставляя сюда вышенайденные и , получим

; (*)

‑ для узла D имеем

I + I₃ – I₄ = 0.

Подставляя сюда вышенайденные и , получим

,

что совпадает с результатом, полученным ранее (см. (*)).

Таким образом, ток через перемычку CD равен

.

.

Поскольку рассчитанное значение силы тока через перемычку CD положительно, то наше предположение, что ток I направлен от узла C к узлу D, является верным. Следовательно, на участке CD ток I направлен от узла C к узлу D.

Ответ: , на участке CD ток I направлен от узла C к узлу D.

5. Результирующая напряжённость поля двух точечных зарядов +6,25×10^-8 Кл и –10^-8 Кл на расстоянии 2 см за вторым из них (на линии, проходящей через заряды) равна 0. Определить расстояние между зарядами.

Дано: q1 = +6,25×10-8 Кл q2 = –10-8 Кл l = 2 см = 2×10-2 м	Решение. Заряды могут быть распространены в пространстве либо дискретно, либо непрерывно. В данном случае заряды распространены дискретно. Согласно принципу суперпозиции (принцип суперпозиции электрических полей (принцип независимости действия электрических полей):
r12 ‑?

напряжённость электрического поля системы зарядов равна геометрической сумме напряжённостей полей каждого из зарядов в отдельности), напряжённость электростатического поля, создаваемого дискретно распространёнными зарядами, равна

,

где ‑ напряжённость в рассматриваемой точке пространства поля одного i -го заряда системы, а n – общее число дискретных зарядов, которые входят в состав системы.

Следовательно, напряжённость электростатического поля системы неподвижных точечных зарядов q₁ и q₂:

.

Электростатикой называется раздел учения об электричестве, в котором изучаются взаимодействия и свойства систем электрических зарядов, неподвижных относительно выбранной инерциальной системы отсчёта. (Система отсчёта, по отношению к которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, покоится или движется прямолинейно и равномерно, называется инерциальной системой отсчёта.)

Существуют два рода электрических зарядов – положительные и отрицательные. Силы взаимодействия неподвижных тел или частиц, обусловленные электрическими зарядами этих тел или частиц, называются электростатическими силами. Разноимённо заряженные тела притягиваются, а одноимённо заряженные отталкиваются друг от друга. Точечным электрическим зарядом называется заряженное тело, форма и размеры которого несущественны в данной задаче. Например, рассматривая электрическое взаимодействие двух тел, их можно считать точечными электрическими зарядами, если размеры этих тел малы по сравнению с расстоянием между ними.

Силы электростатического взаимодействия заряженных тел подчиняются экспериментально установленному закону Кулона. Поэтому их часто называют кулоновскими силами. (Закон Кулона: сила электростатического взаимодействия двух точечных электрических зарядов прямо пропорциональна произведению этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами и направлена вдоль соединяющей их прямой).

Кулоновское взаимодействие между неподвижными электрически заряженными частицами или телами осуществляется посредством их электростатического поля. Электростатическое поле представляет собой стационарное (не изменяющееся с течением времени) электрическое поле.

Напряжённость электростатического поля точечного заряда q_i равна

,

где ‑ радиус-вектор, проведённый из точечного заряда q_i в рассматриваемую точку поля,

e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м – электрическая постоянная,

e – относительная диэлектрическая проницаемость среды; для вакуума e = 1.

Во всех точках поля векторы направлены от заряда q_i, если q_i > 0, и направлены к нему, если q_i < 0.

Направим ось x от зарядов к точке M (так, как показано на рисунке). Тогда проекция E_x вектора на ось x равна

.

Так как q₁ > 0, то вектор направлен в рассматриваемой точке поля M в сторону от заряда по линии, проходящей через заряды q₁ и q₂ (точка M также находится на линии, проходящей через эти заряды (справа от обоих зарядов)), т.е. по направлению оси x.

Так как q₂ < 0, то вектор направлен в рассматриваемой точке поля M к заряду по линии, проходящей через заряды q₁ и q₂, т.е. в сторону, противоположную направлению оси x.

Проекция вектора на направление радиус-вектора равна

.

Следовательно, проекция вектора на направление радиус-вектора равна

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: