Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Примеры решения задач 1 страница




Глава III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

 

1.Электрическое поле создаётся тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда t = 1×10-10 Кл/м. Определить поток вектора напряжённости N через цилиндрическую поверхность длиной l = 2 м, ось которой совпадает с нитью.

Дано: t = 1×10-10 Кл/м l = 2 м Решение. Заряды могут быть распространены в пространстве либо дискретно, либо непрерывно. Для характеристики непрерывного распределения электрических зарядов вдоль неко-
N ‑ ?

торой линии, по некоторой поверхности или по некоторому объёму вводится понятие о плотности зарядов. Если электрические заряды непрерывно распределены вдоль линии, то вводится линейная плотность зарядов t:

,

где dq – заряд малого участка линии длиной dl.

По условию данной задачи бесконечно длинная нить заряжена с одинаковой линейной плотностью заряда t, значит, электрические заряды непрерывно распределены вдоль этой нити. Следовательно, заряд малого участка dl данной нити равен

.

Рассмотрим данную нить.

Согласно принципу суперпозиции напряжённость электростатического поля, создаваемого непрерывно распределёнными вдоль нити зарядами, равна

,

где ‑ напряжённость электростатического поля, создаваемого малым зарядом dq, а интегрирование проводится по всем непрерывно распределённым вдоль первой нити зарядам. Малый заряд dq можно считать точечным электрическим зарядом. Следовательно,

,

где ‑ радиус-вектор, проведённый из места нахождения заряда dq в рассматриваемую точку поля,

e0 = 8,85×10-12 Ф/м – электрическая постоянная,

e – относительная диэлектрическая проницаемость среды; для вакуума e = 1.

Поток напряжённости электрического поля N сквозь поверхность S равен алгебраической сумме потоков сквозь все малые участки этой поверхности:

,

где ‑ вектор напряжённости электрического поля в точках площадки dS,

‑ единичный вектор, нормальный к площадке dS,

‑ вектор площадки,

‑ проекция вектора на направление вектора ,

‑ площадь проекции элемента dS поверхности на плоскость, перпендикулярную вектору .

При этом все векторы нормалей к площадкам dS должны быть направлены в одну и ту же сторону относительно поверхности S. Например, в случае замкнутой поверхности S (см. рис.) все векторы нормалей должны быть либо внешними, либо внутренними.

Так как по условию задачи необходимо определить поток вектора напряжённости N в вакууме через замкнутую поверхность, то воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса: поток напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведённую в поле, пропорционален алгебраической сумме qохв. электрических зарядов, охватываемых поверхностью:

,

где все векторы направлены вдоль внешних нормалей к замкнутой поверхности интегрирования S, которую часто называют гауссовой поверхностью.

Поскольку длина цилиндрической поверхности равна l, то алгебраическая сумма qохв. электрических зарядов, охватываемых данной поверхностью, равна

.

Таким образом, поток вектора напряжённости N через цилиндрическую поверхность длиной l, ось которой совпадает с нитью, равен

.

.

Ответ: .

2.В вершинах квадрата со стороной a = 4 см расположены точечные заряды q = 4,4 нКл. Определить работу перемещения заряда q0 = 2,2 нКл из центра квадрата в середину одной из его сторон.

Дано: a = 4 см = 4×10-2м q = 4,4 нКл = 4,4×10-9Кл q0 = 2,2 нКл = 2,2×10-9Кл Решение. Пусть заряда q0 перемещается из центра квадрата O в точку C (середину одной из сторон данного квадрата) в электрическом поле, созданном точечными зарядами, расположенными в вершинах квад-
A ‑ ?

рата. Тогда работа по перемещению заряда q0 в электрическом поле

A = q0 (jO - jC),

где jO – потенциал поля в точке O,

jC – потенциал поля в точке C.

Потенциал в центре квадрата O равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности:

jO = j1 + j2 + j3 + j4,

где j1, j2, j3, j4 – потенциалы, создаваемые 1-м, 2-м, 3-м, 4-м зарядами (см. рис.) соответственно в точке O.

Поскольку потенциал поля в точке, удалённой на расстояние r от точечного электрического заряда q, равен

,

а все данные четыре заряда равноудалены от точки O на расстояние

,

то

.

Здесь e0 = 8,85×10-12 Ф/м – электрическая постоянная,

e – относительная диэлектрическая проницаемость среды; для вакуума e = 1.

Следовательно,

.

Аналогично потенциал в середине C одной из сторон данного квадрата равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности:

jC = j1/ + j2/ + j3/ + j4/,

где j1/, j2/, j3/, j4/ – потенциалы, создаваемые 1-м, 2-м, 3-м, 4-м зарядами (см. рис.) соответственно в точке C.

Потенциалы поля, создаваемого 1-м и 2-м зарядами в точке C, удалённой на расстояние

от точечных электрических зарядов q1 и q2, равны

.

Потенциалы поля, создаваемого 3-м и 4-м зарядами в точке C, удалённой на расстояние

от точечных электрических зарядов q3 и q4, равны

.

Следовательно,

.

Значит,

.

.

Ответ: .

3.Сколько тепла выделится в спирали с сопротивлением R = 75 Ом при прохождении через неё количества электричества q = 100 Кл, если ток в спирали равномерно убывает до нуля в течение Dt = 50 с.

Дано: R = 75 Ом q = 100 Кл Iк = 0 Dt = 50 с Решение. При прохождении электрического тока по проводникам они нагреваются. Согласно закону Джоуля – Ленца количество теплоты d Q, выделяющейся в проводнике за малое время dt, пропорционально квадрату силы тока I, электрическому сопротивлению R проводника и промежутку времени dt:
Q‑ ?

,

где U = I R – напряжение на проводнике.

Силой тока, или просто током, называется скалярная величина, равная отношению заряда dq, переносимого сквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени, к величине dt этого промежутка:

.

Подставляя это равенство в , получим

.

Переходя от бесконечно малого промежутка времени dt к конечному интервалу Dt и от бесконечно малого заряда dq к конечному Dq, получим выражения:

а) для силы тока

,

откуда

,

где ‑ начальное значение силы тока в спирали,

‑ конечное значение силы тока в спирали;

б) для количества теплоты Q (перешли от d Q к Q), выделяющейся в проводнике (спирали) за время Dt,

.

Так как (см. выше), то

.

.

Ответ: .

4.Между точками A и B цепи поддерживают напряжение U = 20 В. Найти ток и его направление в участке CD, если R = 5 Ом.

Дано: U = 20 В R1 = R4 = R = 5 Ом R2 = R3 = 2R Решение. Пусть токи, которые текут через резисторы 1, 2, 3, 4, равны I1, I2, I3, I4 соответственно, ток через перемычку CD равен I и ток, исходящий из A и приходящий в B, равен I0. Из обобщённого закона Ома для произвольного
I ‑ ?

участка цепи

I0RAB = U

определим ток I0:

,

где RAB – сопротивление между точками A и B,

U ‑ напряжение между точками A и B цепи.

Резисторы 1 и 3 соединены параллельно, а общее сопротивление R параллельно соединённых проводников связано с сопротивлениями Ri этих проводников соотношением

,

где n – количество параллельно соединённых проводников.

Значит, общее сопротивление RACD участка цепи ACD находим из соотношения

,

где R1 и R3 – сопротивления резисторов 1 и 3 соответственно.

.

По условию задачи R1 = R, R3 = 2R.

Следовательно,

.

Аналогично резисторы 2 и 4 соединены параллельно.

Значит, общее сопротивление RCDB участка цепи CDB

,

где R2 и R4 – сопротивления резисторов 2 и 4 соответственно.

По условию задачи R2 = 2R, R4 = R.

Следовательно,

.

Участки ACD и CDB соединены последовательно, а общее сопротивление R цепи, состоящей из n последовательно соединённых участков, равно сумме сопротивлений Ri этих участков:

.

Значит, сопротивление RAB между точками A и B равно

.

Таким образом, ток, исходящий из A и приходящий в B:

.

Поскольку резисторы 1 и 3 соединены параллельно, то напряжение на одном из них равно напряжению на другом:

U1 = U3.

Значит, применяя к последнему равенству обобщённый закон Ома для участка цепи, содержащего резистор 1, и участка цепи, содержащего резистор 3, получим

I1R1 = I3R3.

По условию задачи R1 = R, R3 = 2R.

Следовательно,

I1R = I3×2 R,

I1 = 2I3.

Аналогично, поскольку резисторы 2 и 4 соединены параллельно, то

I2R2 = I4R4.

По условию задачи R2 = 2R, R4 = R.

Следовательно,

I2×2R = I4 R,

2I2 = I4.

Произведём расчёт сложных (разветвлённых) цепей. Расчёт сложных (разветвлённых) цепей состоит в отыскании токов в различных участках таких цепей.

По первому правилу Кирхгофа (правилу узлов): алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

,

где n – число проводников, сходящихся в узле,

Ii – ток в узле.

Положительными считаются токи, подходящие к узлу, отрицательными – токи, отходящие от узла.

Узлом называется точка разветвлённой цепи, в которой сходится более двух проводников.

Следовательно,

‑ для узла A/ имеем

I0 – I1 – I3 = 0.

Подставляя сюда вышенайденные I1 = 2I3 и , получим

, ;

‑ для узла B/ имеем

I2 + I4 – I0 = 0.

Подставляя сюда вышенайденные I4 = 2I2 и , получим

, ;

‑ для узла C имеем

I1 – I – I2 = 0

(считаем, что ток I направлен от узла C к узлу D).

Подставляя сюда вышенайденные и , получим

; (*)

‑ для узла D имеем

I + I3 – I4 = 0.

Подставляя сюда вышенайденные и , получим

,

что совпадает с результатом, полученным ранее (см. (*)).

Таким образом, ток через перемычку CD равен

.

.

Поскольку рассчитанное значение силы тока через перемычку CD положительно, то наше предположение, что ток I направлен от узла C к узлу D, является верным. Следовательно, на участке CD ток I направлен от узла C к узлу D.

Ответ: , на участке CD ток I направлен от узла C к узлу D.

5.Результирующая напряжённость поля двух точечных зарядов +6,25×10-8 Кл и –10-8 Кл на расстоянии 2 см за вторым из них (на линии, проходящей через заряды) равна 0. Определить расстояние между зарядами.

Дано: q1 = +6,25×10-8 Кл q2 = –10-8 Кл l = 2 см = 2×10-2 м Решение. Заряды могут быть распространены в пространстве либо дискретно, либо непрерывно. В данном случае заряды распространены дискретно. Согласно принципу суперпозиции (принцип суперпозиции электрических полей (принцип независимости действия электрических полей):
r12 ‑ ?

напряжённость электрического поля системы зарядов равна геометрической сумме напряжённостей полей каждого из зарядов в отдельности), напряжённость электростатического поля, создаваемого дискретно распространёнными зарядами, равна

,

где ‑ напряжённость в рассматриваемой точке пространства поля одного i-го заряда системы, а n – общее число дискретных зарядов, которые входят в состав системы.

Следовательно, напряжённость электростатического поля системы неподвижных точечных зарядов q1 и q2:

.

Электростатикой называется раздел учения об электричестве, в котором изучаются взаимодействия и свойства систем электрических зарядов, неподвижных относительно выбранной инерциальной системы отсчёта. (Система отсчёта, по отношению к которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, покоится или движется прямолинейно и равномерно, называется инерциальной системой отсчёта.)

Существуют два рода электрических зарядов – положительные и отрицательные. Силы взаимодействия неподвижных тел или частиц, обусловленные электрическими зарядами этих тел или частиц, называются электростатическими силами. Разноимённо заряженные тела притягиваются, а одноимённо заряженные отталкиваются друг от друга. Точечным электрическим зарядом называется заряженное тело, форма и размеры которого несущественны в данной задаче. Например, рассматривая электрическое взаимодействие двух тел, их можно считать точечными электрическими зарядами, если размеры этих тел малы по сравнению с расстоянием между ними.

Силы электростатического взаимодействия заряженных тел подчиняются экспериментально установленному закону Кулона. Поэтому их часто называют кулоновскими силами. (Закон Кулона: сила электростатического взаимодействия двух точечных электрических зарядов прямо пропорциональна произведению этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами и направлена вдоль соединяющей их прямой).

Кулоновское взаимодействие между неподвижными электрически заряженными частицами или телами осуществляется посредством их электростатического поля. Электростатическое поле представляет собой стационарное (не изменяющееся с течением времени) электрическое поле.

Напряжённость электростатического поля точечного заряда qi равна

,

где ‑ радиус-вектор, проведённый из точечного заряда qi в рассматриваемую точку поля,

e0 = 8,85×10-12 Ф/м – электрическая постоянная,

e – относительная диэлектрическая проницаемость среды; для вакуума e = 1.

Во всех точках поля векторы направлены от заряда qi, если qi > 0, и направлены к нему, если qi < 0.

Направим ось x от зарядов к точке M (так, как показано на рисунке). Тогда проекция Ex вектора на ось x равна

.

Так как q1 > 0, то вектор направлен в рассматриваемой точке поля M в сторону от заряда по линии, проходящей через заряды q1 и q2 (точка M также находится на линии, проходящей через эти заряды (справа от обоих зарядов)), т.е. по направлению оси x.

Так как q2 < 0, то вектор направлен в рассматриваемой точке поля M к заряду по линии, проходящей через заряды q1 и q2, т.е. в сторону, противоположную направлению оси x.

Проекция вектора на направление радиус-вектора равна

.

Следовательно, проекция вектора на направление радиус-вектора равна




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2019 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных