Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис. 12.32).

Данная кривая называется направляющей, прямые – образующими, точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис. 12.33).

Конусом (прямым круговым конусом) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис. 12.34).

Рис. 12.32 Рис. 12.33 Рис. 12.34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием. Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

(12.7)

где S_осн – площадь основания; R – радиус основания; S_бок – площадь боковой поверхности; l – длина образующей; S_полн – площадь полной поверхности; V – объем конуса; H – высота.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис. 12.35).

Рис. 12.35

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса, называются образующими. Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(12.8)

где S_бок – площадь боковой поверхности; R – радиус нижнего основания; r – радиус верхнего основания; l – длина образующей; S_полн – площадь полной поверхности; V – объем усеченного конуса; H – высота.

Пример 1. Сечение конуса, параллельное основанию, делит высоту в отношении 1: 3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.36).

Рис. 12.36

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (12.8). Найдем радиусы оснований О ₁ А и О ₂ В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO ₂ B и SO ₁ A, коэффициент подобия равен тогда

Отсюда

Из D SO ₁ A вычисляем: (см).

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Получаем ответ: см².

Пример 2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Круговой сектор является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле Она равна площади четверти круга: Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R, значит, получим следующее уравнение: откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Получаем ответ: 2 см, см.

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45º, меньшим основанием 3 см и наклонной боковой стороной, равной вращается вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.37).

Рис. 12.37

В результате вращения получим усеченный конус. Чтобы найти его объем, вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O ₁ O ₂ AB проведем AC ^ O ₁ B. В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC = BC = 3 см.

Так как вычислим объем:

Получаем ответ: см³.

Пример 4. Треугольник АВС со сторонами ВС = 13 см, АС = 37 см и АВ = 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.38).

Рис. 12.38

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади, необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC), образующие конусов (BC и AC) и высоту цилиндра (AB). Неизвестной является только OC. – это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC. Площадь треугольника ABC, с одной стороны, равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC, с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона

Но

Из этих равенств находим Подставляя найденные значения, получаем:

Таким образом, площадь поверхности тела вращения равна

Пример 5. Два конуса имеют общую высоту, но вершины их лежат в разных концах высоты. Образующая первого конуса равна l, а угол при вершине его осевого сечения равен 2a. Угол при вершине осевого сечения второго конуса равен 2b. Найти объем общей части конусов.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.39).

Рис. 12.39

Объем общей части конусов равен сумме объемов конуса с общим основанием радиуса ВА, высотой BD и высотой BC соответственно. Получим следующее выражение для вычисления объема:

Рассмотрим первый конус, у которого образующая DF равна l, а угол при вершине осевого сечения Треугольник CDF – прямоугольный, тогда Из треугольника BDA ( ) выразим DB: Из треугольника BCA ( ) выразим BC:

Получим следующее: или Из этих равенств следует: откуда имеем:

Подставив найденные выражения в формулу для вычисления объема, получим:

Получаем ответ:

Задания

I уровень

1.1. Площадь основания конуса равна 16 p см², образующая – 5 см. Найдите высоту конуса.

1.2. Высота усеченного конуса 8 см, радиус нижнего основания на 6 см больше радиуса верхнего основания. Найдите длину образующей усеченного конуса.

1.3. Крыша флигеля имеет коническую форму. Диаметр башни равен 12 м, высота крыши – 8 м. Найдите площадь поверхности крыши.

1.4. Определите, как изменится площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания уменьшить в два раза, а образующую увеличить в три раза.

1.5. Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 30°. Определите, какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 25 120 м³. (Число p принять равным 3,14).

1.6. Найдите объем конуса, высота которого 3 см, а осевое сечение – равносторонний треугольник.

1.7. В усеченном конусе через середину высоты, длина которой 5 см, проведено сечение, параллельное основаниям конуса. Найдите его площадь, если площадь осевого сечения усеченного конуса равна 30 см².

1.8. Высота усеченного конуса равна 6 см, радиусы оснований – 10 см и 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

1.9. Определите, сколько квадратных дециметров материала потребуется на изготовление ведра, если его размеры таковы: диаметр дна 20 см, высота 24 см, диаметр верхней части в два раза больше диаметра дна.

1.10. В усеченном конусе проведено осевое сечение, средняя линия которого равна 11 см. Высота усеченного конуса равна 8 см, а радиус одного из оснований больше другого на 3 см. Найдите объем усеченного конуса.

II уровень

2.1. Найдите высоту конуса, если площадь осевого сечения равна 13 см², а площадь основания – 14 см².

2.2. В конусе, радиус основания которого 5 см, проведено сечение, параллельное основанию на расстоянии 4 см от него. Площадь сечения равна 4 p см². Найдите образующие конуса и усеченного конуса.

2.3. Угол развертки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса равна 15 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

2.4. Образующая конуса равна 25 см, а середина его высоты отстоит от образующей на 6 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2.5. Площадь основания в два раза меньше площади боковой поверхности конуса. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

2.6. Для изготовления указки конической формы был взят брусок квадратного сечения размером 20 мм ´ 20 мм и длиной 500 мм. У полученной указки диаметр основания 18 мм и длина 500 мм. Найдите, какой процент материала пошел в отходы.

2.7. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, если высота равна 12 см, образующая – 13 см, а диагональ осевого сечения – 20 см.

2.8. Длины окружностей оснований усеченного конуса равны 96 p см и 66 p см, а его высота – 20 см. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса.

2.9. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если его образующая равна 17 см, а площадь сечения, проходящего через середину высоты параллельно основаниям, равна 196 p см².

2.10. Объем усеченного конуса равен 2580 p дм³, его высота равна 15 дм и составляет высоты полного конуса. Найдите радиусы оснований усеченного конуса.

III уровень

3.1. Радиус основания конуса равен R, образующая наклонена к плоскости основания под углом a. В конусе через вершину под углом j к его высоте проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

3.2. Площади оснований усеченного конуса равны 81 p см² и 225 p см², образующая относится к высоте как 5: 4. Найдите площадь осевого сечения.

3.3. Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно перпендикулярны. Площадь осевого сечения равна 324 см². Найдите площади оснований конуса, зная, что радиус одного основания на 2 см больше другого.

3.4. Дана трапеция ABCD, у которой AD = 15 см, BC = 9 см, AB = CD = 5 см. Трапеция вращается вокруг оси, проходящей через вершину A и перпендикулярно AD. Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

3.5. Прямая отсекает от сторон прямоугольного треугольника, угол между которыми 60°, отрезки, длины которых составляют четвертую часть длины гипотенузы, считая от вершины этого угла. Найдите отношение площади треугольника к площади поверхности тела, полученного при вращении этого треугольника вокруг прямой.

3.6. Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг своей неподвижной вершины. Высота конуса равна h, образующая – b. Найдите площадь поверхности, описываемой высотой конуса.

3.7. Два конуса имеют общее основание. В общем осевом сечении образующая одного из конусов перпендикулярна противолежащей образующей другого. Объем одного из них вдвое меньше объема другого. Найдите угол между образующей большего конуса и плоскостью оснований конусов.

3.8. Треугольник АВС, у которого АВ = 13 см, ВС = 20 см, АС = 21 см, вращается вокруг оси, проходящей через вершину А перпендикулярно АС. Найдите объем полученного тела вращения.

3.9. Параллелограмм вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно большей диагонали. Найдите объем тела вращения, если стороны параллелограмма и его большая диагональ равны соответственно 15 см, 37 см и 44 см.

3.10. Образующая усеченного конуса, равная l, наклонена к плоскости основания под углом a. Отношение площадей оснований конуса равно 4. Найдите объем усеченного конуса.

Шар

Шар и сфера

Сферой называется множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки.

Данная точка называется центром сферы. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы. Хордой называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Диаметром называется хорда, проходящая через центр сферы (рис. 12.40).

Рис. 12.40

Шаром называется геометрическое тело, ограниченное сферой. Центр, радиус, хорда и диаметр сферы называются соответственно центром, радиусом, хордой и диаметром шара (рис. 12.40).

Шар можно рассматривать как тело, полученное при вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга.

Сферой также называется поверхность шара.

Плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, называется касательной плоскостью к сфере (шару). Общая точка называется точкой касания сферы (шара) и плоскости.

Теорема. Для того чтобы плоскость была касательной к сфере (шару), необходимо и достаточно, чтобы эта плоскость была перпендикулярна к радиусу сферы (шара), проведенному в точку касания.

Для шара верны формулы:

где S – площадь поверхности шара (площадь сферы); R – радиус шара; V – объем шара.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: