ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Линейные операции над векторами.
Определение. Суммой + векторов и называется вектор, проведенный из начала к концу , если конец и начало совпадают. Приведенное определение сложения векторов называется правилом треугольника. Векторы и можно складывать, пользуясь правилом параллелограмма.
Если имеется n векторов , то их сумма определяется как вектор .
Определение. Разностью векторов и называется такой вектор = - , что выполняется равенство + = . Легко показать, что для любого вектора , существует такой единственный вектор , называемый противоположным вектору что + = . Вектор, противоположный вектору , будем обозначать – . Определение. Произведением вектора на число λ (λ 0) называется вектор =λ , удовлетворяющий следующим условиям: 1) векторы и одинаково направлены, если λ>0, и противоположно направлены, если λ<0; 2) | |=|λ|| |.
По определению, произведение произвольного вектора на число 0 есть нулевой вектор, т.е. 0 = . Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами: 1) сложение векторов коммутативно: + = + , " , ; 2) сложение векторов ассоциативно: ( + )+ = +( + ), " , , ; 3) + = , " ; 4) +(- )=0, " ; 5) умножение вектора на число ассоциативно: α (β ) = (α β) , " " α, β Î R; 6) 1 = , " ; 7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел: (α+β) =α +β , " , " α, β Î R; 8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов: α( + )=α +α , " , , " α Î R; Множество всех векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1) – 8), называется линейным, или векторным пространством, и обозначается ().
Теорема (необходимое и достатаочное условие коллинеарности двух векторов). Для того чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало число λ, удовлетворяющее условию: = λ .
Проекции.
Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.
Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α и обозначим точку пересечения плоскости α' c осью l через А1. Тогда точка А1 называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если α l, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.
Пусть теперь задан вектор . Возьмем проекции А1 и В1 точек А и В на ось l относительно плоскости α. Тогда вектор называется проекциейвектора на ось l относительно плоскости α. Величиной проекции вектора на ось l относительно плоскости α называется число, равное: а) | |, если направление вектора совпадает с направлением оси l; б) - | |, если направление противоположно направлено оси l. Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора на ось l будем обозначать Пр l , а для ортогональной проекции использовать обозначение пр l . Пусть α - некоторая плоскость и l – прямая, такая, что l не параллельна α. Через произвольную точку А пространства проведем прямую l 1 || l и обозначим точку пересечения прямой l 1 с плоскостью α через А1. Точка А1 называется проекциейточки А наплоскость α относительнопрямой l. Если прямая l α, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной. Определение. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью. Из определения следует, что 0 α π. Угол между векторами или между осями, или между вектором и осью будем обозначать соответственно: (), (), ().
Теорема. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами: 1) ; 2) 3) .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|