Оценка качества построенной модели.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент детерминации (детерминированности).

Рассмотрим следующую величину: - общую сумму квадратов отклонений значений от их среднего арифметического значения. Для линейной регрессии можно доказать следующее равенство:

(5.10)

Первое слагаемое называется остаточной суммой квадратов отклонений и характеризует отклонение экспериментальных данных от их теоретических значений, найденных по уравнению регрессии. Заметим, что совпадает с суммой, определяемой соотношением (5.6). Второе слагаемое называется факторной или регрессионной суммой квадратов отклонений и характеризует разброс теоретических значений относительно среднего арифметического значения исходных данных. Коэффициент детерминированности (детерминации) определяется по формуле:

. (5.11)

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности. Он показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными.

Коэффициент детерминированности может быть преобразован к следующему виду:

Таким образом, коэффициент детерминированности равен доле вариации Y объясняемой вариацией фактора X.

В случае линейной зависимости двух переменных коэффициент детерминированности равен квадрату коэффициента корреляции ().

Коэффициент детерминированности служит показателем тесноты связи между фактором и откликом.

Далее оценивается статистическая значимость коэффициента детерминированности и параметров полученного уравнения, то есть оценка вероятности того, что данные величины не примут нулевые значения.

Проверка значимости уравнения в целом, то есть гипотезы о наличии линейной зависимости между и , проводится с помощью критерия Фишера. Проверка значимости уравнения в целом предполагает проверку нулевой гипотезы об отсутствии линейной связи между и , то есть , альтернативная гипотеза , то есть существенно отличен от нуля и уравнение значимо. Если нулевая гипотеза справедлива, то мало отличается от . Для отклонения необходимо, чтобы регрессионная (факторная) дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Схема проверки гипотезы совпадает с общей схемой проведения дисперсионного анализа (табл. 5.2).

Для линейного уравнения регрессии справедливо выражение

.

Отсюда следует, что чем больше отношение , тем ближе значение коэффициента детерминированности к единице.

Это утверждение справедливо и для нелинейной регрессии. Приведем и к сравнимому виду. Существует соотношение между числом степеней свободы (числом свободы независимого варьирования признака) для общей, факторной и остаточной сумм квадратов:

.

Для парной регрессии:

,

где - число единиц совокупности, - число параметров при переменных в уравнении регрессии. Для линейного уравнения равно единице. Разделим каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы. Получим средний квадрат отклонений, или, что то же самое, дисперсию на одну степень свободы

Таблица 5.2.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: