Оценка качества построенной модели. Тесноту связи результативного и факторного признаков для нелинейной регрессии характеризует индекс корреляции (R):

Тесноту связи результативного и факторного признаков для нелинейной регрессии характеризует индекс корреляции (R):

. (6.6)

где - общая дисперсия результирующего признака Y;

- остаточная дисперсия, определяемая из уравнения регрессии .

Поскольку дисперсии определяются соотношениями и , то справедливо соотношение

(6.7)

Величина находится в границах: , чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

Поскольку в расчете индекса корреляции используется соот­ношение факторной и общей суммы квадратов отклонений, то квадрат индекса корреляции (R) ² имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации R². В специальных исследованиях величину R² для нелинейных связей называют индексом детерминации.

Оценка существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надежности коэффициента корреляции в предыдущей лабораторной работе (см. лаб.раб. 5).

Индекс детерминации используется для проверки существен­ности в целом уравнения нелинейной регрессии по F -критерию Фишера.

Сделать это можно двумя равноценными способами, используя:

1) схему факторного анализа, полностью совпадающей со схемой применяемой для линейной регрессии, приведенной в табл. 5.2;

2) выражение для вычисления F через величину R² по формуле

(6.8)

.

где R² - индекс детерминации;

n — число наблюдений;

m — число параметров при переменных х.

Величина m характеризует число степеней свободы для фак­торной суммы квадратов, а (n - m -1) — число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

Общая идея полностью совпадает с проверкой значимости величины в линейной регрессии. Применение рассмотрим в примере 6.1

Для обоснования предпочтения применения нелинейной регрессии вместо линейной нужно сравнить индекс детерминации , характеризующий качество нелинейной регрессии с коэффициентом детерминации , характеризующим качество линейной регрессии. Если незначительно больше , то нет необходимости использовать более сложное нелинейное уравнение, а можно использовать линейное. Для оценки величины различия между и , вычисленных по одним и тем же исходным данных, используем t-критерий Стьюдента.

Выдвигаем гипотезу H₀: , альтернативная гипотеза H₁: . Вычисляем

. (6.9)

где

(6.10)

Если , то гипотезу H₀ следует принять, в противоположном случае отвергнуть в пользу гипотезы H₁.

Для сравнения качества различных моделей используется скорректированный индекс детерминации , содержащий поправку на число степеней свободы:

. (6.11)

Другой оценкой качества уравнения регрессии является средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение теоретических значений от фактических, которая определяется по формуле:

. (6.12)

Модель считается пригодной для прогноза, если величина не превышает 8%-10%.

Задание

1. Для данных, приведенных в задании к лабораторной работе №5, рассчитайте параметры следующих парных регрессий и постройте соответствующие графики:

a) линейной;

b) квадратичной ;

c) экспоненциальной

d) степенной

e) показательной ;

f) равносторонней гиперболы .

Для каждой модели выполните следующие исследования:

2. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации для линеаризованных (функцию ЛИНЕЙН())и исходных данных () соответственно. Объяснить расхождение.

3. Рассчитайте средний (общий) коэффициент эластичности.

4. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации (А).

5. Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерий Фишера.

6. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.2, 4,5 выберите лучшее уравнение регрессии и,пользуясь соотношениями (6.Х), докажите или опровергните возможность использование этого уравнения вместо линейного.

7. Рассчитайте ожидаемое значение результата, если прогнозное значение фактора увеличиться на 5% от его среднего уровня, используя лучшее уравнение регрессии.

Указания по выполнению.

Исходные данных из лабораторной работы №5.

Для выполнения пункта. 1.а).

Результаты построения взять из лаб. работы №5.

Добавить вычисление коэффициентов a и b еще одним способом: составив и решив систему нормальных уравнений, которая определяется соотношением (5.5).

Дополнительно провести расчеты к п.п.3-4????

К п. 1.b)

Вычисление коэффициентов провести тремя способами:

1. По определению (МНК) – решая систему нормальных уравнений (6.2). Систему решить, используя матричные операции MS Excel МОБР, МУМНОЖ;

2. Используя встроенную функцию ЛИНЕЙН();

3. Используя средство надстройки «Пакет анализа» MS Excel «Регрессия».

Решение показано на следующих трех рисунках (рис. 6.2-6.4)

К п. 1.c)

Вычисление коэффициентов провести четырьмя способами:

1. Линеаризовать уравнение модели. По определению (МНК) – решая систему нормальных уравнений для линеаризованных данных

2. Линеаризовать уравнение модели. Далее использовать встроенную функцию ЛИНЕЙН()

3. Средство надстройки «Пакет анализа» MS Excel «Регрессия».

4. Для исходных данных (не линеаризованных) использовать встроенную функцию ЛГРФПРИБЛ()

Решение показано на рисунках 6.5-6.7.

Рис.6.2.

Рис.6.3.

Рис.6.4

Рис. 6.5.

К п. 1.d)

Вычисление коэффициентов провести тремя способами:

1. Линеаризовать уравнение модели. По определению (МНК) – решая систему нормальных уравнений для линеаризованных данных (см.ниже).

2. Линеаризовать уравнение модели. Далее использовать встроенную функцию ЛИНЕЙН().

3. Средство надстройки «Пакет анализа» MS Excel «Регрессия».

К п. 1.e).

Если выполнено построение экспоненциальной регрессии , то коэффициент b показательной регрессии может быть вычислен по формуле , а коэффициенты а совпадают.

К п. 1.f)

Линеаризующим преобразованием будет преобразование: .

Вычисление коэффициентов провести двумя способами:

1. По определению (МНК) – решая систему нормальных уравнений (см. выше).

2. Используя встроенную функцию ЛИНЕЙН().

К п. 6.

Лучшую модель определить по величине средней ошибки аппроксимации (6.12) и значение R², заполнив таблицу, приведенную на рис.6.8.

Рис.6.8. Итоговая таблица для определения лучшей зависмости.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, изд.9, М., Высшая школа, 2003, с.480.

2. Господариков В.П. и др. Математический практикум, ч.5, Теория вероятности и математическая статистика. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория поля. Санкт-Петербургский горный ин-т, СПб, 2003, с.187

3. Бер К., Кэйри П., Анализ данных с помощью Microsoft Excel, М., Вильямс, 2004, с. 560.

4. Арженовский С.В., Федорова О.Н. Эконометрика.Учебное пособие/ Рост.гос.экон.универ.-Ростов н/Д,2002, с. 102

5. Практикум по эконометрике/ Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы статистика, 2001, с. 192

6. Эконометрика/ Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы статистика, 2001, с. 344

ОГЛАВЛЕНИЕ

Лабораторная работа 5. Парная регрессия. 3

5.1. Теоретические сведения. 3

5.2. Оценка качества построенной модели. 7

5.3. Геометрическая интерпретация. 15

5.4. матричная форма записи. 19

5.5. Средство «Регрессия» надстройки «Пакет анализа» MS Excel 20

Пример. 22

Задание. Построение уравнения парной регрессии. 6

Варианты заданий. 7

Лабораторная работа 6. Нелинейная регрессия. 13

6.1. Теоретические сведения. 13

6.2. Оценка качества построенной модели. 17

Задание. 20

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: