Прямоугольный треугольник

Пусть a, b и c – стороны ВС, АС и АВ (для краткости не говорим «длины сторон») прямоугольного треугольника АВС, где Ð С = 90⁰. Вспоминаем, что а, b – катеты, а с – гипотенуза, причем по теореме Пифагора a² + b² = c². Если Ð А = a, то имеем равенства:

Sin a = a/c, Cos a = b/c, tg a = a/b и ctg a = b/a. Необходимо научиться, используя эти равенства, находить неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника, когда известны одна его сторона и острый угол.

В заданиях 1.1 – 1.3 найдите неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника АВС (Ð С = 90⁰), если даны d, a и v.

1.1. AB = d, ÐA = a. 1.2. AC = d, CosÐA = v. 1.3. BC = d, CtgÐA = v.

При решении задач по этой теме полезно помнить стороны некоторых прямоугольных треугольников с целыми сторонами (египетских треугольников): 3k, 4k, 5k (например, при k = 4 имеем прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 12 и 16, а гипотенуза – 20), а также 5k, 12k, 13k и 8k, 15k, 17k. И вообще, стороны любого египетского треугольника, при некоторых натуральных числах m,n,k, где m>n, имеют вид (m²-n²)k, 2mnk, (m²+n²)k.

При решении следующих заданий желательно вспомнить технику, связанную с использованием так называемого «ключевого треугольника», то есть треугольника, данные о котором позволяют находить без труда все его неизвестные стороны и углы. В частности, прямоугольный треугольник будет ключевым, если нам даны, например, две его стороны либо сторона и острый угол.

В заданиях 1.4 – 1.5 найдите неизвестные стороны «ключевого» прямоугольного треугольника АВС (ÐС = 90⁰).

1.4. AC = 16, CosÐA = 8/17. 1.5. BC = 21, SinÐB = 24/25.

В заданиях 1.6 – 1.8 требуется найти сторону прямоугольного треугольника, в котором не хватает сведений о его компонентах (сторонах или углах). Чтобы решить задание, найдите ключевой треугольник и определите с помощью него недостающую для исходного прямоугольного треугольника компоненту.

1.6. Высота ВD прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу, равна 12 и SinÐA = 3/5. Найдите гипотенузу.

1.7. Катет ВС прямоугольного треугольника АВС (ÐС = 90⁰) равен 15 и tgÐA = 3/4. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

1.8. В прямоугольном треугольнике АВС точка D лежит на катете АВ, причем расстояние от нее до гипотенузы равно расстоянию до вершины А и равно . Найдите катет АС, если Ð В = 30⁰.

Пусть в прямоугольном треугольнике а, b – катеты, с – гипотенуза, h – высота, опущенная на гипотенузу, c_a и c_b – соответствующие проекции катетов а и b на гипотенузу.

Оказывается, учитывая теорему Пифагора и равенства h² = c_a c_b, a² = c_a c, b² = c_b c, мы можем по двум из шести отрезков а, b, c, h, c_a, c_b всегда определить остальные четыре. Если, зная два отрезка, не получается сразу применить теорему Пифагора или одно из этих равенств, то удобно взять за неизвестную х отрезок c_a (или c_b), а затем с помощью одного из трех равенств составить квадратное уравнение относительно х. Используя эту идею, решите задания 1.9 – 1.10.

1.9. Точка D – основание высоты, опущенной на гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС. Найдите АС, если AD = 3 и BD = 9.

1.10. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 169, а высота, опущенная на нее, равна 60.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: