Высоты, медианы и биссектрисы треугольника

Известно, что прямые, проходящие через высоты треугольника, пересекаются в одной и той же точке, называемой ортоцентром. Оказывается, что ортоцентр является центром окружности, описанной около другого треугольника, стороны которого проходят через вершины данного треугольника, параллельно противолежащим его сторонам (докажите это высказывание самостоятельно с обязательным построением соответствующего чертежа. Напоминаем, что центр описанной окружности около треугольника совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам). Высоты h_a, h_b и h_c, опущенные соответственно на стороны a, b и c треугольника, могут быть найдены из равенств: h_a = 2S / a, h_b = 2S / b и h_c = 2S / c, где S –площадь треугольника. Откуда замечаем, что высоты по длине обратно пропорциональны сторонам, на которые опущены, то есть чем больше сторона треугольника, тем меньше опущенная на нее высота.

Медианы треугольника (отрезки, соединяющие вершины с серединами противолежащих сторон) пересекаются в одной и той же точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эту точку обычно называют центром масс треугольника (если в вершинах треугольника расположить гири одинаковой массы, то центр масс этой системы трех гирь будет располагаться в точке пересечения медиан). Для решения задач бывает полезным соображение о том, что в любом треугольнике АВС для любой точки D стороны АС площади треугольников АВD и CBD относятся как AD:CD (докажите самостоятельно). Из этого факта непосредственно следует, что медиана разрезает треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. Оказывается, что, зная стороны треугольника a, b и с, его медиана т_с, проведенная к стороне с, может быть найдена по формуле .

Биссектрисы (внутренних углов) треугольника пересекаются в одной и той же точке, которая является центром вписанной в него окружности. Пусть CL – биссектриса треугольника АВС, то есть точка L лежит на стороне АB и Ð ACL = Ð BCL. Положим BC = a, AC = b, AL = c_b , BL = c_a и CL = l_c . Имеют место следующие равенства:

a / b = c_a / c_b, l_c = и .

Замечаем, что приведенные ранее формулы в пунктах 2 – 4 позволяют по известным трем сторонам треугольника легко находить его углы, площадь, высоты, медианы и биссектрисы. Поэтому в затруднительной ситуации при решении задачи по этой теме, имея «ключевой» треугольник (то есть треугольник, в котором, например, известны две его стороны и угол между ними или сторона и два прилежащих к ней угла), удобно, используя теорему синусов или теорему косинусов, определить третью сторону и затем воспользоваться указанными формулами пунктов 2 – 4. Теперь можно переходить к решению заданий 4.1 – 4.5.

4.1. В треугольнике со сторонами 1, и 2 найдите в градусах угол между высотой и медианой, проведенными из вершины наибольшего угла.

4.2. Найдите в градусах угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины наименьшего угла в треугольнике со сторонами 16, 21 и 35.

4.3. Найдите медиану равнобедренного треугольника АВС с основанием АС, проведенную на боковую сторону, если АВ = 4и АС = .

4.4. Найдите биссектрису угла А треугольника АВС, у которого АВ = 15, АС = 12 и CosÐA = 1 / 8.

4.5. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает в середине его медиану, проведенную из вершины В. Найдите в градусах угол В, если SinÐC = .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: