Теоремы синусов и косинусов. Пусть АВС – произвольный (не обязательно прямоугольный) треугольник, ВС = a, AC = b, AB = c, ÐA = a

Пусть АВС – произвольный (не обязательно прямоугольный) треугольник, ВС = a, AC = b, AB = c, ÐA = a, ÐB = b и ÐC = g. Тогда выполняются следующие равенства:

(теорема синусов); (теорема косинусов).

Теорему синусов удобно применять в том случае, когда в треугольнике известны: 1) одна сторона и два угла (третий угол легко находится) либо 2) две стороны и угол, не лежащий между ними. Теорема косинусов хорошо работает, когда в треугольнике известны две стороны, а также третья сторона либо какой-то угол (в последнем случае третью сторону берем за х и, используя равенство, составляем квадратное уравнение относительно х). Следует отметить, что информация о косинусе угла треугольника предпочтительней, чем информация о его синусе, так как синус не различает острые и тупые углы (Sin 30⁰ = Sin 150⁰). Поэтому, если использована теорема синусов для нахождения угла, не забывайте рассмотреть случай остроугольного и случай тупоугольного треугольников. Полезно знать формулу , легко выводимую из равенства в теореме косинусов. Например, если мы найдем косинус наибольшего угла треугольника (угла против большей стороны), то по его знаку можно определить вид треугольника (остроугольный – при положительном косинусе, тупоугольный – при отрицательном и прямоугольный – в случае равенства косинуса нулю). Замечаем, что синус любого угла треугольника всегда положителен, а косинус нет. Поэтому для внутреннего угла g треугольника имеем равенства: и при g £ 90⁰, при g >90⁰. Теперь можно переходить к решению заданий 2.1 – 2.5.

2.1. Найдите в градусах наибольший угол треугольника со сторонами 3,5 и7.

2.2. В треугольнике АВС угол А тупой, SinÐA = , АВ = 2 и АС = 3. Найти ВС.

2.3. В треугольнике АВС известно, что АС = 3, SinÐB = 6/11 и CosÐC = . Найдите сторону АВ.

2.4. Найдите в градусах угол С треугольника АВС, если АВ = 5, АС = 1 и CosÐА = 0,8.

2.5. Найдите сторону ВС треугольника АВС, если АВ = 7, АС = 9 и SinÐA = .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: