Метод половинного деления

Пусть дано уравнение (1), функция f(x) непрерывна на заданном отрезке [ a,b ] и f(a)f(b) <0. Разделим отрезок [ a,b ] пополам и точку деления обозначим через c:

.

Если f(c) =0, то c – искомый корень уравнения (1). Иначе выбираем ту половину отрезка [ a,b ], на концах которой функция f(x) имеет значения разных знаков, обозначаем новый отрезок [ a₁,b₁ ], делим его пополам и т.д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень, или бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков [ a₁,b₁ ], [ a₂,b₂ ],…, [ a_n,b_n ],…, таких, что

f(a_n)f(b_n) <0, n =1,2,… (2)

и . (3)

Так как левые концы a ₁, a ₂,… a_n,… образуют монотонную неубывающую, а правые концы b ₁, b ₂,… b_n,… - монотонную невозрастающую ограниченные последовательности, то в силу равенства (3) существует общий предел . Переходя к пределу при n → ∞ в неравенстве (2), в силу непрерывности функции f(x) получаем следовательно, т.е. ξ – искомый корень уравнения (1) и

.

Метод половинного деления практически применяется для грубого нахождения корня, так как при увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: