Где c (t) есть периодическая функция с периодом p, (или 2p).

Подставляя это решение в (3), получаем для q:

. (7)

Из этого выражения следует, что вопрос о возбуждении колебаний приводится к нахождению условий, при которых амплитуда q будет постоянно возрастать. Из (17) видно, что это будет иметь место тогда, когда вещественная часть h будет абсолютно больше J.

Условие параметрического возбуждения, следовательно, тесно связано с величиной h, т. е. с характеристическим показателем решения уравнения Матье (4). Зависимость h от параметров этого уравнения m и можно, как это сделали А. Андронов и М. Леонтович (¹⁴), качественно изобразить графически (рис. 1), выделив на плоскости отдельно области, внутри которых h имеет реальную часть. Как видно из рисунка, эти области, являющиеся областями "неустойчивых" решений уравнения (4), расположены около значений

При наличии затухания, т. е. для уравнения (2) эти области неустойчивости сильно уменьшаются (заштрихованные области на рис.1)

Рис. 1. Области неустойчивости (работа Андронова и Леонтовича).

Пользуясь методом, указанным Рейлеем (^{3, 4}), можно приближенно определить границы этих областей неустойчивости. Так, границы первой области неустойчивости (около значения ) даются с точностью до m ² кривыми:

и (8)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: