Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Сложение и вычитание действительных чисел




Пусть некоторое число х Î R+ сначала изменили на а, а потом на в, причем число х настолько велико, что оба эти изменения не выводят из множестваR+. Назовем суммой чисел а и в действительное число, выражающее результирующее изменение. Например, если сначала сделать изменение на 4, а потом на 7, число 12 перейдет сначала в 16, а потом 16 перейдет в 23. Но чтобы 12 перешло в 23, надо изменить его на 11, значит, 4 + 7 = 11, как и должно быть. Если же сначала сделать изменение на –4, а потом на –7, то 12 перейдет сначала в 8; а потом в 1. Но чтобы из 12 получить 1, надо изменить 12 на –11. Отсюда следует, что (–4) + (–7) = –11.

Вообще, если а и в – положительные действительные числа и
х > а + в, то при изменении на –в число х а переходит в (xа)в, т.е. в х –(а + в). Но чтобы получить х – (а + в),надо изменить х на
–(а + в). Это показывает, что (–а) + (–в) = – (а + в).

Рассмотрим теперь сложение чисел противоположных знаков. Начнем со случая, когда слагаемые – противоположные числа. Очевидно, что если изменить число х сначала на а, а потом на –а, то получим снова х. Иными словами, х + (а + (–а)) = х. Так как, с другой стороны, и х + 0 = х, то надо положить а + (–а) = 0. Итак, сумма противоположных чисел равна нулю.

Теперь найдем сумму а + (–в) в общем случае (мы считаем, что а и в – положительные числа, а потому –в отрицательно). Если а > в, то
а = (а в) + в, и потому а + (–в) = (а в)+ в + (–в). Но последовательные изменения числа х на а в, в и –в можно заменить изменением на а в (изменения на в и –в взаимно уничтожаются). Поэтому положим а + (–в) = а в, если а > в. Очевидно, что при а > в и (–в) + а = а в.

Пусть теперь а < в. В этом случае мы имеем –в = (–а)+ (–(в а)), и потому а + (–в) = а + (–а) + (–(в а)) = – (ва). Значит, при a < в надо положить а + (–в) = – (ва). Тот же результат получится при сложении –в и а: (–в) + а = –(в а).

Полученные правила сложения действительных чисел можно сформулировать в виде следующего определения.

Определение.При сложении двух действительных чисел одного и того же знака получится число того же знака, модуль которого равен сумме модулей слагаемых. При сложении чисел различного знака получается число, знак которого совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль, а модуль равен разности большего и меньшего модулей слагаемых. Сумма противоположных чисел равна нулю, а сложение с нулем не меняет числа.

Легко проверить, что сложение в R обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и сократимости. Из данного выше определения видно, что нуль – нейтральный элемент относительно сложения, т.е.

а + 0= а.

Вычитание в множестве R определяется как операция, обратная сложению. Поскольку каждое число в в R имеет противоположное ему число –в, такое, что в + (–в) = 0, то вычитание числа в равносильно сложению с числом –в: а в = а + (–в).

 

В самом деле, для любых а и в имеем:

(а + (–в)) + в = а + ((–в) + в) = а, а это и означает, что а в = а + (–в).

Для положительных чисел а и в, таких, что а > в, их разность
а в была изменением, при котором в переходит в а. По аналогии с этим назовем для любых действительных чисел а и в число а в изменением, переводящим в в а. Оно переводит точку 0 в точку ав. Как и для положительных действительных чисел это изменение геометрически изображается направленным отрезком, идущим из точки в в точку а. Его длина равна расстоянию от начала отсчета до точки
а в, т.е. модулю числа а в. Мы доказали следующее важное утверждение:

Длина отрезка, идущего из точки в в точку а, равна |а в|.

Введем в множество R отношение порядка. Будем считать, что
а > в в том и только в том случае, когда разность а в положительна. Легко доказать, что это отношение антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением строгого порядка. При этом для любых а и в из R справедливо одно и только одно из отношений: а = в, а < в, в < а, т.е. отношение порядка в R линейно. Поскольку а – 0 = а, то а > 0, если a Î R+, и а < 0, еслиа Î R .

Нетрудно доказать, что если а > в, то для любого с Î R имеем
а + с > в + с.







Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2021 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных