Бесконечные периодические десятичные дроби

Известно, что если знаменатель п несократимой дроби в своем каноническом разложении имеет простой множитель не равный 2 и 5, то эта дробь не представима в виде конечной десятичной дроби. Если мы попытаемся в этом случае записать исходную несократимую дробь в виде десятичной, производя деление числителя на знаменатель, то процесс деления закончиться не может, т.к. в случае его завершения через конечное число шагов, мы получили бы в частном конечную десятичную дробь, что противоречит ранее доказанной теореме. Так что в этом случае десятичная запись положительного рационального числа а = представляется бесконечной дробью.

Например, дробь = 0,3636.... Легко заметить, что остатки при делении 4 на 11 периодически повторяются, следовательно, и десятичные знаки будут периодически повторяться, т.е. получается бесконечная периодическая десятичная дробь, которую можно записать так 0,(36).

Периодически повторяющиеся цифры 3 и 6 образуют период. Может оказаться, что между запятой и началом первого периода стоит несколько цифр. Эти цифры образуют предпериод. Например,

= 0,1931818... Процесс деления 17 на 88 бесконечен. Цифры 1, 9, 3 образуют предпериод; 1, 8 – период. Рассмотренные нами примеры отражают закономерность, т.е. любое положительное рациональное число представимо либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

Теорема 1. Пусть обыкновенная дробь несократима и в каноническом разложении знаменателя n есть простой множитель отличный от 2 и 5. Тогда обыкновенная дробь представима бесконечной периодической десятичной дробью.

Доказательство. Мы уже знаем, что процесс деления натурального числа m на натуральное число n будет бесконечным. Покажем, что он будет периодическим. В самом деле, при делении m на n будут получаться остатки, меньшие n, т.е. числа вида 1, 2,..., (n – 1), откуда видно, что количество различных остатков конечно и потому, начиная с некоторого шага какой-то остаток повторится, что повлечет за собой повторение десятичных знаков частного, и бесконечная десятичная дробь становится периодической.

Имеют место еще две теоремы.

Теорема 2. Если в разложение знаменателя несократимой дроби на простые множители не входят цифры 2 и 5, то при обращении этой дроби в бесконечную десятичную дробь получится чистая периодическая дробь, т.е. дробь, период которой начинается сразу же после запятой.

Теорема 3. Если же в разложение знаменателя входят множители 2 (или 5) или тот и другой, то бесконечная периодическая дробь будет смешанной, т.е. между запятой и началом периода будет несколько цифр (предпериод), а именно столько, каков больший из показателей степеней множителей 2 и 5.

Теоремы 2 и 3 предлагается доказать читателю самостоятельно.

28. Способы перехода от бесконечных периодических
десятичных дробей к дробям обыкновенным

Пусть дана периодическая дробь а = 0,(4), т.е. 0,4444....

Умножим а на 10, получим

10 а = 4,444…4…Þ 10 а = 4 + 0,444….

Т.е. 10 а = 4 + а, получили уравнение относительно а, решив его, получим: 9 а = 4 Þ а = .

Замечаем, что 4 – одновременно и числитель полученной дроби и период дроби 0,(4).

Правило обращения в обыкновенную дробь чистой периодической дроби формулируется так: числитель дроби равен периоду, а знаменатель состоит из такого числа девяток, сколько цифр в периоде дроби.

Докажем теперь это правило для дроби, период которой состоит из п цифр. Пусть дана периодическая дробь

а = . Умножим а на 10 ⁿ, получим:

10 ⁿ × а = = + 0, ;

10 ⁿ × а = + a;

(10 ⁿ – 1) а = Þ a = = .

Итак, сформулированное ранее правило, доказано для любой чистой периодической дроби.

Пусть теперь дана дробь а = 0,605(43) – смешанная периодическая. Умножим а на 10 с таким показателем, сколько цифр в предпериоде, т.е. на 10³, получим

10³ × а = 605 + 0,(43) Þ 10³ × а = 605 + = 605 + = = ,

т.е. 10³× а = .

Правило обращения в обыкновенную дробь смешанной периодической дроби формулируется так: числитель дроби равен разности между числом, записанным цифрами, стоящими до начала второго периода, и числом, записанным цифрами стоящими до начала первого периода, знаменатель состоит из такого числа девяток, сколько цифр в периоде и такого числа нулей сколько цифр стоит до начала первого периода.

Докажем теперь это правило для дроби, предпериод которой состоит из п цифр, а период из к цифр. Пусть дана периодическая дробь

а = .

Обозначим в = ; r = ,

с = ; тогда с = в × 10 ^к + r.

Умножим а на 10 с таким показателем степени сколько цифр в предпериоде, т.е. на 10 ⁿ, получим:

а ×10 ⁿ = + .

Учитывая введенные выше обозначения запишем:

а× 10 ⁿ = в + .

Итак, сформулированное выше правило доказано для любой смешанной периодической дроби.

Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является формой записи некоторого рационального числа.

В целях однообразия иногда конечную десятичную дробь также считают бесконечной периодической десятичной дробью с периодом «нуль». Например, 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3,000....

Теперь становится справедливым такое утверждение: всякое рациональное число можно (и притом единственным образом) выразить бесконечной десятичной периодической дробью и всякая бесконечная периодическая десятичная дробь выражает ровно одно рациональное число (периодические десятичные дроби с периодом 9 при этом не рассматриваются).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: