Понятие марковского случайного процесса.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс. Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, ес­ли его возможные состояния , ,…. можно заранее перечис­лить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерыв­ным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны. Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Математический анализ работы СМО существенно упрощает­ся, если процесс этой работы — марковский. Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени вероятностные характери­стики процесса в будущем зависят только от его состояния в дан­ный момент t и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

При анализе случайных процессов с дискретными состояния­ми удобно пользоваться геометрической схемой — так называе­мым графом состояний. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состоя­ния в состояние — стрелками (ориентированными дугами), со­единяющими состояния.

Пример 1. Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случай­ный момент времени может выйти из строя, после чего мгновен­но начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Решение. Возможные состояния системы: — оба узла исправны; — первый узел ремонтируется, второй исправен; — второй узел ремонтируется, первый исправен; — оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний устройства S

Стрелка, направленная, например, из в , означает переход системы в момент отказа первого узла, из в — переход в момент окончания ремонта этого узла.

На графе отсутствуют стрелки из в и из в . Это объ­ясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются незави­симыми друг от друга и вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из в или одновремен­ного окончания ремонтов двух узлов (переход из в ) можно пренебречь.

Потоки событий.

Под потоком событий понимается последовательность одно­родных событий, следующих одно за другим в какие-то случай­ные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).

Поток характеризуется интенсивностью — частотой появле­ния событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятно­стные характеристики не зависят от времени. В частности, интен­сивность стационарного потока есть величина постоянная: .

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени и — число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа собы­тий, попадающих на другие.

Поток событий называется ординарным, если вероятность по­падания на малый (элементарный) участок времени двух и бо­лее событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.

Простейший поток в качестве предельного возникает в тео­рии случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа п независимых, стацио­нарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям () получается поток, близкий к простей­шему с интенсивностью , равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: